第06讲组合（原卷版）.docx

第06讲组合

课程标准

学习目标

①组合及组合数的定义

②排列与组合的关系

③组合数公式

④组合数的性质

1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.

2.会用组合知识解决一些简单的组合问题．

3.掌握组合数公式和组合数的性质.

4.能运用组合数的性质进行计算.3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题．

5.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法.

6.理解排列、组合中的多面手问题、分组分配等问题．

知识点01组合及组合数的定义

1．组合

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

2．组合数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq\o\al(m,n)表示．

【即学即练1】（2022·上海黄浦·模拟预测）已知，用非负整数表示，，若为其表示方法的数组（）的个数，则＝．

知识点02排列与组合的关系

相同点

两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素

不同点

排列问题中元素有序，组合问题中元素无序

关系

组合数Ceq\o\al(m,n)与排列数Aeq\o\al(m,n)间存在的关系

Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)Aeq\o\al(m,m)

【即学即练2】（2021·上海松江·二模）因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为.

知识点03组合数公式

组合数

公式

乘积

形式

Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)，

其中m，n∈N*，并且m≤n

阶乘

形式

Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！?n－m?！)

规定：Ceq\o\al(0,n)＝1.

【即学即练3】（高二下·上海浦东新·期末）下列四个组合数公式:对，约定,有

（1）

（2）

（3）

（4）

其中正确公式的个数是（????）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

知识点04组合数的性质

性质1：Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).

性质2：Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).

【即学即练4】（2425高二上·上海·期末）方程的解集是（）

A． B． C． D．

题型一：组合数的计算

1．（2324高二下·上海·期中）可以表示为（???）

A． B． C． D．

2．（2122高二下·上海浦东新·期中）设n为正整数，则关于，下列说法正确的是（????）

A．该代数式的值唯一确定 B．该代数式的值有两种情况

C．该代数式的值有三种情况 D．该代数式的值有无数种情况

3．（2223高二下·上海浦东新·期中）下列关于排列数和组合数的计算中正确的是（????）

A． B．

C． D．

4．（2223高二下·上海浦东新·期中）某舞台灯光设备有一种36头LED矩阵灯（如图所示），其中有2头LED灯出现故障，假设每头灯出现故障的概率是等可能的，则这2头故障LED灯相邻（横向相邻或纵向相邻）的概率为（????）．

A． B． C． D．

5．（2223高二下·上海嘉定·期末）从0、1、2、3、4、5、6、7这8个数中任取5个不同的数，则这5个不同的数的中位数为3的概率为.

6．（2223高二下·上海长宁·期末）若，则正整数.

7．（2324高二下·上海·期末）6件产品中有4件正品，2件次品，现一次取三件产品，至少有2件正品的概率为.

8．（2324高二上·上海·期末）四面体中，在各棱中点的连线中任取1条，则该条直线与平面ABC相交的概率是．

9．（2425高二上·上海浦东新·期中）从这7个数中任选个组成一个没有重复数字的“五位凹数”（满足），则这样的“五位凹数”的个数为.（用数字作答）

10．（2324高二下·上海闵行·期末）已知有穷数列的首项为1，末项为10，且任意相邻两项之间满足，则符合上述要求的不同数列的个数为．

题型二：利用组合数公式证明

1．（高二下·上海杨浦·期末）对于无理数,用表示与最接近的整数,如,.设，对于区间的无理数,定义,我们知道,若,和,则有以下两个恒等式成立：①；②,那么对于正整数和两个无理数,,以下两个等式依然成立的序号是；①；②.

2．．

3．（高二下·上海静安·期末）（1）设、，，求证：；

（2）请利用二项式定理证明：.

4．（高二下·上海·期末）（1）设，且，求证：；

（2）求满足的正