2024-2025学年上海市南洋模范中学高一下学期开学摸底考试数学试卷（含答案）.docx

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2024-2025学年上海市南洋模范中学高一下学期开学摸底考试

数学试卷

一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若θ终边不在坐标轴上，且cosθcosθ+sinθ

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.若sinα+cosα=1，则tanα+

A.1 B.?1 C.0 D.不存在

3.在?ABC中，若sinBsinC=cos2A

A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形

4.已知函数fgx为偶函数，则函数fx，gx

A.均为偶函数 B.至少有1个为偶函数

C.均为奇函数 D.至少有1个为奇函数

二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

5.limn→∞(n?1)(2n+1)3n2

6.函数fx=x?1的单调递增区间为??????????

7.函数f(x)=x+1,x≤1?x+3,x1，则f(f(2))=??????????．

8.知cos(α?π4)=1213，且π4

9.方程cosx?3sinx=1

10.要使sinα=2m?34?m有意义，m的取值范围是??????????

11.已知cos(α+β)=45，cos(α?β)=?35，则tanαtanβ=

12.若函数f(x)=8?ax?2x2是偶函数，则该函数的定义域是

13.已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2的取值范围是

14.已知?ABC中，a=1，b=2，若?ABC为钝角三角形，则c的取值范围是??????????．

15.已知?ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b=3，cos2B=cos(A+C)，则?ABC周长的取值范围为??????????

16.设函数fx=lg1+2x+3x+?+49x+5

三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题12分)

已知定义域为R的函数f

(1)判断函数的奇偶性并求其最小正周期

(2)若f(α)=?310，0απ3

18.(本小题12分)

设函数y=f(x)，其中f(x)=x

(1)若函数y=f(x)是偶函数，求实数a的值；

(2)若a∈(2,3)，记g(x)=f(x)?10，求证：函数y=g(x)在[2,4]上有零点．

19.(本小题12分)

某市为了刺激当地消费，决定发放一批消费券.已知每投放a0a≤4,a∈R亿元的消费券，这批消费券对全市消费总额提高的百分比y随着时间x(天)x∈R,x≥0

(1)若第一次投放2亿元消费券，则接下来哪段时间内能使消费总额至少提高40％？

(2)政府第一次投放2亿元消费券，4天后准备再次投放m亿元的消费券，将第二次投放消费券后过了x天x∈R,0≤x≤2时全市消费总额提高的百分比记为gx.若存在x0∈

20.(本小题12分)

设a∈R，已知函数y=fx

(1)当a=2时，用定义证明y=fx是?2,+∞

(2)若定义在?2,2上的奇函数y=gx满足当0≤x≤2时，gx=fx，求gx

(3)对于(2)中的gx，若关于x的不等式gt?3x9+3

21.(本小题12分)

若函数gx=1?fx1+f

(1)求证：“对一函数”的总数为偶数；

(2)设cos2x的“对一函数”为Fx，定义域为R且严格增的幂函数Gx=12ax?

(3)若奇函数fx为在?∞,0上的严格增，fx?1，且fx为gx

参考答案

1.C?

2.D?

3.A?

4.B?

5.23

6.1,+∞(或1,+∞也正确)

7.2?

8.7

9.0,4π

10.?1,73

11.?7?

12.[?2,2]?

13.[1

14.(1,

15.6,9?

16.a?47

17.(1)因为fx

由fx=?12sin

且函数fx的最小正周期为：T=

(2)由f(α)=?310，所以

且02α2π3，所以

若cos2α≥0，则cos

若cos2α0，则cos2α=?

所以cos2α=

所以sin2α+

所以fα+

?

18.(1)若函数y=f(x)是偶函数，则f(1)=f(?1)，即|1?a|=|?1?a|，

所以1?a=?1?a或1?a=1+a，所以a=0，

此时f(x)=x2|x|，f(?x)=(?x

所以a=0．

(2)因为g(x)=f(x)?10=x

所以g(2)=4|2?a|?10=4|a?2|?10，g(4)=16|4?a|?10=16|a?4|?10，

因为a∈(2,3)，所以a?2∈(0,1)，a?4∈(?2,?1)，

所以g(2)=4|a?2|?10∈(?10,?6)，g(4)=16|a?4|?10∈(6,22)，

所以当a∈(2,3)时