双曲线的定义、标准方程及几何性质.docVIP

高二数学学案序号112-113高二年级班教师毕环学生

复习三十五双曲线的定义、标准方程及几何性质

〖学习目的〗1、掌握双曲线的定义、标准方程及几何性质

2、会用定义和几何性质解决简单问题；会求双曲线的标准方程；

〖重点难点〗定义、几何性质的理解及应用

〖学习过程〗

一、复习归纳

1、双曲线的定义：到两定点距离之差的绝对值等于一个常数（小于两定点间距离）的动点

的轨迹为双曲线。

即：当时，P的轨迹为双曲线；是焦距，

注：1）双曲线有两支，设分别是左、右焦点，则当时表示右支；

当时表示左支；

2）当时，P的轨迹为以、为端点的两条射线；

3）当时，P的轨迹不存在；

2、双曲线的标准方程

1）当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为，其中：焦点坐标是

2）当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为，其中：焦点坐标是

注意：（1）注意与椭圆的区别。

（2）方程特征：左边是平方差的结构，右边是1；分母均大于0，但大小不定；

（3）根据方程判断焦点的位置的方法：看系数的符号（正负）；

即的系数大于0则在x轴上，且的分母即是；

反之，的系数大于0则在y轴上，且的分母即是。

3、求双曲线方程，先要判断焦点的位置，若两种均有可能，则分两种情况讨论；

有的问题也可用两种标准方程的统一形式：来设方程。

4、常用小结论：

1）与双曲线共渐近线的双曲线系方程为：

2）、以渐近线的双曲线可设为：

5、双曲线的标准方程与几何性质

二、例题讲解

例1、（1）已知两定点,,动点满足,求动点的轨迹方程

（2）已知两定点,,动点满足,求动点的轨迹方程.

（3）已知双曲线C与双曲线有公共焦点，且过点，求该双曲线的方程。

例2、方程表示双曲线，则k的取值范围是 （）

A． B． C． D．或

例3、已知双曲线的两个焦点为F1（-，0）、F2（，0），P是此双曲线上的一点，

且，，求该双曲线的方程。

例4、设是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足，

求的面积。

例5、求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．

例6、求满足下列条件的双曲线的标准方程：

（1）顶点在轴上，两顶点间的距离是8，离心率；

（2）求经过点，且对称轴都是坐标轴的等轴双曲线的方程，并渐近线方程和离心率。

例7、设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线

垂直，求双曲线的离心率。

例8、求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线标准方程；

三、课后练习

1、过两点、的双曲线的标准方程为。

2、双曲线的一个焦点是，那么实数的值为．

3、方程表示焦点在x轴上的双曲线，则的取值范围

4、已知双曲线上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为

5、已知双曲线上一点P到右焦点的距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，

则点P到左焦点的距离为

6、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，-2），则它的离心率为

7、求中心在原点，F为右焦点，离心率为的双曲线方程及其渐近线方程。

8、设P是双曲线上一点，该双曲线的一条渐近线方程是3x+4y=0，F1，F2分别是

双曲线的左、右焦点，若|PF1|=10，则|PF2|=

9、已知双曲线的一条渐近线方程是x-2y=0，且过点P（4，3），求双曲线的标准方程．