沪科 九年级 下册 数学《阶段拔尖专训1 旋转问题中作辅助线的技巧》复习课 课件.pptx

;由旋转的性质，得QC＝PA＝3，

∴在△QPC中，PQ2＋QC2＝42＋32＝52＝PC2，

∴△QPC为直角三角形，且∠PQC＝90°.

∴∠PQC＋∠PQB＝∠BQC＝∠APB＝135°.;(2)如图②，在四边形ABCD中，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长．;【解】以A为旋转中心，将线段AD顺时针旋转90°得线段AD′，则AD′⊥AD，AD′＝AD，连接CD′，DD′，如图②.

∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠BAC＝90°，BA＝CA，

∴∠BAC＝∠DAD′，

∴∠BAC＋∠CAD＝∠DAD′＋∠CAD，

即∠BAD＝∠CAD′.;2．如图，在Rt△ABC中，四边形DECF是正方形．

(1)请简述图①经过怎样的变换形成图②；;(2)当AD＝5，BD＝6时，设△ADE，△BDF的面积分别为S1，S2，求S1＋S2.;3.如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，求图中的阴影部分的面积．;4．在平面内，把一个图形绕着一个定点旋转一定的角度，可以将这个图形转换到另一个位置，从而易于解题．请你阅读学习这种旋转变换方法，并运用其解答问题：;(1)如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，AE⊥BC于点E，求证：AE＝EC.

证明：∵AB＝AD，∠BAD＝90°，∴可将图①中的△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADE′，如图②，请你利用图②完成证明；;【证明】在题图②中，易得△ABE≌△ADE′，

∴∠E′＝∠AEB＝90°，∠ADE′＝∠B，AE＝AE′.

∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠B＋∠ADC＝180°，

∴∠ADE′＋∠ADC＝180°，即C，D，E′在同一条直线上．

∵∠AEC＝∠C＝∠E′＝90°，AE′＝AE，

∴四边形AECE′为正方形，∴AE＝EC.;(2)根据第(1)题的数学活动经验，解答下面的问题．

①如图③，在Rt△ABC中，D为斜边AB上一点，AD＝2，BD＝1，四边形DECF是正方形，设△ADE和△BDF的面积分别为S1，S2，求S1＋S2的值；;【解】①如图①，将△BDF绕点D逆时针旋转90°，

得△B′DE，

易得△DEB′≌△DFB，

∴S△DBF＝S△DEB′，DB′＝DB＝1，

∠BDF＝∠B′DE，易知∠BDF＋∠EDA＝90°，

∴∠B′DE＋∠EDA＝∠ADB′＝90°.;②如图④，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，AC＝1，∠APB＝∠BPC＝∠APC，求PA＋PB＋PC的值．;【解】如图②，以点A为旋转中心，将△ABP顺时针旋转60°，得到△ANM，连接BN，PM，则△ABP≌△ANM，

∴PB＝MN，∠APB＝∠AMN.

易得△APM，△ABN均为等边三角形，

∴PA＝PM，∠APM＝∠AMP＝60°，

BN＝BA，∠ABN＝60°.;5.问题背景：在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用方法，如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，

点E，F分别是边BC，CD上的点，

且∠EAF＝60°，连接EF，探究线

段BE，EF，DF之间的数量关系．;(1)探究发现：小明同学的方法是将△ABE绕点A逆时针旋转120°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，然后证明△AGF≌△AEF，从而得出结论：__________________．;【解】(1)中的结论仍然成立，理由如下：

如图①，将△ADF绕点A顺时针旋转至AD与AB重合，得到△ABH，

由旋转可得，AH＝AF，

BH＝DF，∠DAF＝∠BAH，∠D＝∠ABH.;(3)尝试应用：如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，已知BE＝3，DF＝2，求正方形ABCD的边长．;【解】如图②，将△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG的位置，使得AB与AD重合，

?

∴△ABE≌△ADG，

∴BE＝DG，AE＝AG，

∠ADG＝∠B，∠BAE＝∠DAG.;∵在正方形ABCD中，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，

∴∠ADG＋∠ADF＝∠B＋∠ADF＝180°，

∴G，D，F三点共线．∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠BAE＋∠DAF＝45°，

∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝45°＝∠EAF.

又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF，

∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF＝5.;设正方形ABCD的边长是x，

在Rt△CEF中，EC＝x－3，

CF＝x－2，EF2＝EC2＋CF2，

∴52＝(x－3)2＋(x－2)2，

解得x1＝6，x2＝－1(舍去)，

∴正方形ABCD的边长是6.;6.问题提出：如图①，点P