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全国新高考Ⅰ卷数学(理科)试题及答案解析

选择题（每小题5分，共60分）

1.已知集合$A=\{x|x^22x30\}$，$B=\{x|y=\ln(2x)\}$，则$A\capB=$（）

A.$(1,3)$

B.$(1,2)$

C.$(1,3)$

D.$(2,3)$

答案：B

解析：

先求解集合$A$：

对于不等式$x^22x30$，因式分解得$(x3)(x+1)0$，则其解为$1x3$，所以$A=\{x|1x3\}$。

再求解集合$B$：

因为对数函数$y=\ln(2x)$中，真数须大于$0$，即$2x0$，解得$x2$，所以$B=\{x|x2\}$。

最后求$A\capB$：

$A\capB$就是求既属于$A$又属于$B$的元素，所以$A\capB=\{x|1x2\}$，即$(1,2)$。

2.复数$z=\frac{2i}{1+i}$（$i$为虚数单位）的共轭复数是（）

A.$1+i$

B.$1i$

C.$1+i$

D.$1i$

答案：B

解析：

先对复数$z$进行化简，给$\frac{2i}{1+i}$的分子分母同时乘以$1i$，则$z=\frac{2i(1i)}{(1+i)(1i)}=\frac{2i2i^2}{1i^2}$。

因为$i^2=1$，所以$z=\frac{2i+2}{2}=1+i$。

根据共轭复数的定义，实部相同，虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数，所以$z=1+i$的共轭复数为$1i$。

3.函数$f(x)=\frac{1}{x}\ln(\sqrt{x^2+1}x)$的图象关于（）

A.$x$轴对称

B.原点对称

C.$y$轴对称

D.直线$y=x$对称

答案：B

解析：

首先确定函数的定义域：

要使函数$f(x)=\frac{1}{x}\ln(\sqrt{x^2+1}x)$有意义，则$x\neq0$，且$\sqrt{x^2+1}x0$，因为$\sqrt{x^2+1}x$恒成立，所以定义域为$(\infty,0)\cup(0,+\infty)$关于原点对称。

然后判断函数的奇偶性：

计算$f(x)=\frac{1}{x}\ln(\sqrt{x^2+1}+x)$，又因为$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}x}=\sqrt{x^2+1}+x$，所以$\ln(\sqrt{x^2+1}+x)=\ln(\sqrt{x^2+1}x)$，则$f(x)=\frac{1}{x}\times[\ln(\sqrt{x^2+1}x)]=\frac{1}{x}\ln(\sqrt{x^2+1}x)=f(x)$，所以函数$f(x)$是奇函数，奇函数的图象关于原点对称。

4.已知向量$\overrightarrow{a}=(1,m)$，$\overrightarrow{b}=(3,2)$，且$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}$，则$m=$（）

A.8

B.6

C.6

D.8

答案：D

解析：

先求出$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(1+3,m2)=(4,m2)$。

因为$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}$，根据向量垂直的性质，若两向量垂直，则它们的数量积为$0$，所以$(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}=0$。

即$4\times3+(m2)\times(2)=0$，展开得$122m+4=0$，移项可得$2m=16$，解得$m=8$。

5.等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_2+a_4+a_6=12$，则$S_7$的值是（）

A.21

B.24

C.28

D.7

答案：C

解析：

因为$\{a_n\}$是等差数列，根据等差数列的性质：若$m+n=p+q$，则$a_m+a_n=a_p+a_q$。

已知$a_2+a_4+a_6=12$，又$a_2+a_6=2a_4$，所以$3a_4=12$，解