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考研数学一试卷

选择题（每题4分，共32分）

1.设函数$f(x)=\frac{x\sinx}{x^3}$，则当$x\to0$时，$f(x)$是（）

A.无穷小量B.无穷大量C.有界但非无穷小量D.无界但非无穷大量

答案：A

解析：利用等价无穷小，当$x\to0$时，$\sinx=x\frac{x^3}{6}+o(x^3)$，则$f(x)=\frac{x(x\frac{x^3}{6}+o(x^3))}{x^3}=\frac{\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^3}=\frac{1}{6}+o(1)$，所以$\lim\limits_{x\to0}f(x)=\frac{1}{6}$，故当$x\to0$时，$f(x)$是无穷小量。

2.设$y=y(x)$是由方程$x^2+y^22x4y+1=0$确定的隐函数，则$\frac{dy}{dx}\big|_{x=1,y=2}$的值为（）

A.0B.1C.1D.2

答案：B

解析：对方程$x^2+y^22x4y+1=0$两边同时对$x$求导，得$2x+2y\frac{dy}{dx}24\frac{dy}{dx}=0$，整理得$\frac{dy}{dx}=\frac{1x}{y2}$，将$x=1,y=2$代入，得$\frac{dy}{dx}\big|_{x=1,y=2}=1$。

3.设$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$为正项级数，下列结论中正确的是（）

A.若$\lim\limits_{n\to\infty}na_n=0$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛

B.若存在非零常数$\lambda$，使得$\lim\limits_{n\to\infty}na_n=\lambda$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散

C.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，则$\lim\limits_{n\to\infty}n^2a_n=0$

D.若级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散，则存在非零常数$\lambda$，使得$\lim\limits_{n\to\infty}na_n=\lambda$

答案：B

解析：由$\lim\limits_{n\to\infty}na_n=\lambda\neq0$，可知$a_n\sim\frac{\lambda}{n}(n\to\infty)$，而级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，根据正项级数的比较判别法的极限形式，级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散。

4.设$A$为$n$阶方阵，且$|A|=2$，则$|(2A^)^{1}|$的值为（）

A.$2^{2n1}$B.$2^{12n}$C.$2^{n1}$D.$2^{1n}$

答案：B

解析：因为$A^=|A|A^{1}=2A^{1}$，所以$2A^=4A^{1}$，则$(2A^)^{1}=\frac{1}{4}A$，所以$|(2A^)^{1}|=\left|\frac{1}{4}A\right|=\left(\frac{1}{4}\right)^n|A|=2^{12n}$。

5.设向量组$\alpha_1=(1,0,0)^T,\alpha_2=(0,1,0)^T,\alpha_3=(0,0,1)^T,\beta=(1,1,1)^T$，则向量$\beta$由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示的系数为（）

A.1,1,1B.1,1,1C.1,1,1D.1,1,1

答案：A

解析：设$\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3$，即$(1,1,1)^T=k_1(1,0,0)^T+k_2(0,1,0)^T+k_3(0,0,1)^T=(k_1,k_2,k_3)^T$，所以$k_1=k_2=k_3=1$。

6.设随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，且$E[(X1)(X2)]=1$，则$\lambda$的值为（）

A.1B.2C.3D.4

答案：A

解析：已知$X\simP(\lambda)$，则$E(X)=\lambda$，$D(X)=\lambda$，$E(X^2)=D(X)+