上海市普陀区2011届高三第二学期质量调研考试（数学理）.doc

2010学年度第二学期普陀区高三年级质量调研

数学理科

一、填空题（本大题满分56分）

1.双曲线的实轴长为.

2.极坐标平面内一点的极坐标为，则点到极点的距离.

3.二项式的展开式中的第八项为.

4.已知点在函数，的图像上，则的反函数.

5.若行列式的第三行、第三列元素的代数余子式等于，则行列式的值为.

6.在球心为，体积为的球体表面上两点、之间的球面距离为，则的大小为.

7.已知无穷等比数列的前项和的极限存在，且，，则数列各项的和为.

8.若直线（为参数）的方向向量与直线的法向量平行，则常数.

9.已知一个圆柱的侧面展开图是一个长和宽分别为和的矩形，则该圆柱的体积是.

10.已知数列是等差数列，，，则过点和点的直线的倾斜角是.（用反三角函数表示结果）

11.设抛物线上一点到该抛物线准线与直线的距离之和为，若取到最小值，则点的坐标为.

12.设整数是从不等式的整数解的集合中随机抽取的一个元素，记随机变量，则的数学期望.

13.已知函数若满足，（、、互不相等），则的取值范围是 .

14.把正整数排列成如图1三角形数阵，然后擦去第偶数行中的所有奇数和第奇数行中的所有偶数，可得到如图2的三角形数阵.现将图2中的正整数按从小到大的顺序构成一个数列，若，则．

第14题图-1

第14题图-2

二、选择题（本大题满分20分）

15.设实数、、满足,且,那么下列不等式中不一定成立的是（）

A.；B.；C.；D..

16.已知方程，其中，则在复数范围内关于该方程的根的结论正确的是(）

A.该方程一定有一对共轭虚根；B.该方程可能有两个正实根；

C.该方程两根的实部之和等于-2；D.若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于1.

17.已知向量，，向量，则向量与的夹角为(）

18.已知函数的零点，且常数分别满足，，则（）

A.;B.;C.;D..

三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.

19.（本题满分12分）

已知复数满足（为虚数单位），复数，试确定一个以为根的实系数一元二次方程.

20.（本题满分14分）

为了缓解城市道路拥堵的局面，某市拟提高中心城区内占道停车场的收费标准，并实行累进加价收费。已公布的征求意见稿是这么叙述此收费标准的：“（中心城区占道停车场）收费标准为每小时10元，并实行累进加价制度，占道停放1小时后，每小时按加价50%收费。”

方案公布后，这则“累进加价”的算法却在媒体上引发了争议（可查询2010年12月14日的相关国内新闻）.请你用所学的数学知识说明争议的原因，并请按照一辆普通小汽车一天内连续停车14小时测算：根据不同的解释，收费各应为多少元？

21.（本题满分14分）

如图，平面，四边形是正方形，，点、、分别为线段、和的中点.

（1）求异面直线与所成角的大小；

（2）在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离恰为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由.

第22题图22

第22题图

已知函数.

（1）试判断的奇偶性并给予证明；

（2）求证：在区间单调递减；

（3）右图给出的是与函数相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0.请说明你的理由.

23.（本题满分18分）

如图1，已知半径为的圆的内接四边形的对角线和相互垂直且交点为.

xy

x

y

第23题图-1

第23题图-2

（1）若四边形中的一条对角线的长度为（），试求：四边形面积的最大值；

（2）试探究：当点运动到什么位置时，四边形的面积取得最大值，最大值为多少？

（3）对于之前小题的研究结论，我们可以将其类比到椭圆的情形.如图2，设平面直角坐标系中，已知椭圆（）的内接四边形的对角线和相互垂直且交于点.试提出一