广西壮族自治区柳州铁一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题.docxVIP

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广西壮族自治区柳州铁一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，则（???）

A． B． C． D．

2．已知，则等于（????）

A． B． C． D．

3．已知的展开式中的系数为17．则实数的值为（???）

A． B． C．1 D．2

4．已知向量，且，则的面积为（????）

A． B． C． D．

5．设为椭圆上一点，过点分别向轴作垂线，垂足分别为，则矩形面积的最大值为（????）

A．9 B． C． D．18

6．我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”.后人称其为“赵爽弦图”.如图，现提供5种颜色给图中的5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同.记事件：“区域2和区域4颜色不同”，事件：“所有区域颜色均不相同”，则（????）

A． B． C． D．

7．“”是“圆上有四个不同的点到直线的距离等于1”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．已知函数，，若，则的最大值为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．已知等比数列公比为q，前n项和为，且满足，则（????）

A． B．

C．，，成等比数列 D．

10．对于函数（），下列说法正确的是（???）

A．当时，函数在上有且只有一个零点

B．若函数在单调递增，则的取值范围为

C．若函数在时取最小值，在时取最大值，且，则

D．将函数图象向左平移个单位得到的图象，若为偶函数，则的最小值为2

11．在正方体中，分别为的中点，则（????）

A．平面

B．

C．直线与平面所成角为

D．平面经过棱的三等分点

三、填空题

12．是虚数单位，则复数的共轭复数为.

13．在中，，则顶点C的轨迹方程是.

14．将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为.

四、解答题

15．记的内角的对边分别为.已知为边的中点，且.

(1)求证：；

(2)若，求的面积.

16．如图，在三棱锥中，，.

??

(1)证明：平面；

(2)若是棱上一点且，求二面角的大小.

17．甲参加围棋比赛，采用三局两胜制，若每局比赛甲获胜的概率为，输的概率为，每局比赛的结果是独立的．

(1)当时，求甲最终获胜的概率；

(2)为了增加比赛的趣味性，设置两种积分奖励方案．方案一：最终获胜者得3分，失败者得分；方案二：最终获胜者得1分，失败者得0分，请讨论选择哪种方案，使得甲获得积分的数学期望更大．

18．已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足．

(1)求的值及的方程；

(2)证明：线段的垂直平分线过定点；

(3)设（2）中定点为，当的面积最大时，求直线的方程．

19．已知.

(1)求证：当时，；

(2)设.

（ⅰ）求证：数列为递减数列；

（ⅱ）求证：.

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《广西壮族自治区柳州铁一中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

C

A

A

B

C

A

A

ABD

ABD

题号

11

答案

ABD

1．C

【分析】根据交集含义即可得到答案.

【详解】根据交集含义知.

故选：C.

2．C

【分析】运用诱导公式即可.

【详解】.

故选:C

3．A

【分析】先找到的展开式通项为，再由乘法分配律得展开式中的系数为，即可得解.

【详解】根据题意，的展开式通项为，

所以的展开式中为：

，

则，解得.

故选：A

4．A

【分析】根据条件，利用数量积的运算律可得，再利用向量垂直的坐标运算，可得，进而可得，，即可求解.

【详解】因为，得到，化简得，所以，

又，所以，得到，

所以，则，，

所以的面积为，

故选：A.

5．B

【分析】结合面积公式，由基本不等式即可直接求解；

【详解】

由题意知，矩形的面积，

而，所以.

当且仅当时取等号；

故选：B

6．C

【分析】由已知，结合条件概率公式求解即可.

【详解】事件：“区域2和区域4颜色不同”即从5种颜色选出两种放入区域2和区域