广西专用2024年高考数学一轮复习大题专项练5高考中的解析几何含解析新人教A版理.docxVIP

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高考大题专项练五高考中的解析几何

1.设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M

(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;

(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.

2.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.

(1)若F在线段AB上,R是PQ的中点,证明:AR∥FQ;

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍,求AB中点的轨迹方程.

3.已知椭圆C:x2a2+y2b2=

(1)求C的方程;

(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.

4.设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为53,点A

(1)求椭圆的方程;

(2)设直线l:y=kx(k0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若|AQ||PQ|=524

5.(2024全国Ⅰ)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,且F与圆M:x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4.

(1)求p;

(2)若点P在M上,PA,PB是C的两条切线,A,B是切点,求△PAB面积的最大值.

6.如图,已知椭圆x24+y23=1的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y

(1)若点G的横坐标为-14,求直线AB

(2)记△GFD的面积为S1,△OED(O为原点)的面积为S2.试问:是否存在直线AB,使得S1=S2?说明理由.

7.(2024山东枣庄模拟)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F1(-3,0),抛物线C2:x2=2py(p0),C

(1)求C1与C2的方程;

(2)动直线l与C1交于不同两点M,N,与C2交于不同两点P,Q,且A?l,记AM,AN的斜率分别为k1,k2,满意k1k2=12,记线段PQ的中点R的纵坐标为t,求t的取值范围

答案：

1.(1)解由已知得F(1,0),直线l的方程为x=1.

由已知可得,点A的坐标为1,

所以AM的方程为y=-22x+2或y=22x-

(2)证明当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x12,x22,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2,由

kMA+kMB=2k

将y=k(x-1)代入x22+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,由题意知Δ

所以,x1+x2=4k22k2+1,x

则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-

从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.

综上,∠OMA=∠OMB.

2.解由题知F12

设直线l1:y=a,直线l2:y=b,则ab≠0,

且Aa22,a,Bb22,b,P

记过A,B两点的直线为l,

则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.

(1)证明:由于F在线段AB上,

故1+ab=0.

记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,

则k1=a-b1+

所以AR∥FQ.

(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),

则S△ABF=12|b-a||FD|=12|b-a|

S△PQF=|a

由题设可得|b-a|x1

所以x1=0(舍去),x1=1.

设满意条件的AB的中点为E(x,y).

当AB与x轴不垂直时,

由kAB=kDE,可得2a+b=y

而a+b2=y,所以y2=x-1(x

当AB与x轴垂直时,E与D重合.

所以,所求轨迹方程为y2=x-1.

3.解(1)由题设得4a2+1

解得a2=6,b2=3,所以C的方程为x26+

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).

若直线MN与x轴不垂直,设直线MN的方程为y=kx+m,代入x26+y23=1得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-

于是x1+x2=-4km1+2k2,x1x2

由AM⊥AN知AM·AN

故(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0,

可得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+(m-1)2+4=0.

将①代入上式可得(k2+1)2m2-61+2k2-(km-k-2)4km1+2k

整理得(2k+3m+1)(2k+m-1)=0.

因为A(2,1)不在直线MN上,所以2k+m-1≠0,

故2k+3m+1=0,k≠1.

于是MN的方程为y=kx-23-1

所以直线MN过点P23

若直线MN与x轴垂直,可得N(x1,-y1).

由AM