2025届高考数学一轮复习专题训练 空间向量的应用（含解析）.docVIP

2025届高考数学一轮复习专题训练空间向量的应用

一、选择题

1．如图所示,在直四棱柱中,底面为平行四边形,,,点E在上,且,则点B到平面的距离为()

A. B. C. D.

2．如图,平面平面,四边形为正方形,四边形为菱形,,则直线所成角的余弦值为()

A. B. C. D.

3．如图所示直四棱柱中,底面为菱形,,,,动点P在体对角线上,则顶点B到平面距离的最大值为()

A. B. C. D.

4．埃及金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，若金字塔的高为3，，点E满足，则点D到平面的距离为()

A. B. C. D.

5．已知直线l过点和点，则点到l的距离为()

A.3 B.

C. D.

6．直线l的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则()

A. B.

C.或 D.与的位置关系不能判断

7．在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是().

A. B. C. D.

8．PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是().

A. B. C. D.

二、多项选择题

9．如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是，，CD，BC的中点，则下列说法正确的有()

A.E，F，G，H四点共面

B.BD与EF所成角的大小为

C.在线段BD上存在点M，使得平面EFG

D.在线段上任取一点N，三棱锥N-EFG的体积为定值

10．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则()

A.若，则

B.若，则

C.若，则

D.若，则

11．在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则()

A.当时，的周长为定值

B.当时，三棱锥的体积为定值

C.当时，有且仅有一个点P，使得

D.当时，有且仅有一个点P，使得平面

三、填空题

12．如图,在长方体中,,,点E在棱上.若二面角的大小为,则_________.

13．如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱的中点.若点M，N分别为直线，上的动点，则的最小值为__________.

14．已知正方形的边长为平面分别是的中点，则点C到平面的距离为_______.

四、解答题

15．如图，在以为顶点的五面体中，平面平面，，.

(1)证明：；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

16．如图，直四棱柱的底面是菱形，分别是的中点.

(1).证明：平面；

(2).求二面角的正弦值.

17．如图，在正方体中，,E,F分别是,的中点.

(1)求异面直线与所成角的余弦值；

(2)求点到平面的距离.

18．如图,已知在矩形中,E为边的中点,将沿直线折起到（平面）的位置,M为线段的中点.

（1）求证:平面;

（2）已知,当平面平面时,求直线与平面所成角的正弦值.

19．如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，为等边三角形.

（1）求证：；

（2）若平面平面，求D到平面的距离.

参考答案

1．答案：C

解析：建立如图所示的空间直角坐标系,

则,,,,,.

所以,,,

设平面的法向量为

则,.

所以点B到平面的距离.

故选：C.

2．答案：D

解析：取的中点O,连接,

四边形为菱形,,

所以,

由于平面平面,且两平面交线为,,平面,

故平面,又四边形为正方形,

故以O为坐标原点,为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,

不妨设正方形的边长为2,

则,,,,

故,,

则,

故直线,所成角的余弦值.

故选：D.

3．答案：A

解析：连接交于点O,

由题意,得,,

,

如图,以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则,,,

所以,,,设,

所以,

设平面的一个法向量为,则,

所以,取,

则,

设顶点B到平面距离为d,

则,

当时,

当时,,

所以当即时点B到平面距离最大为.

故选：A.

4．答案：D

解析：如图，

连接，设与相交于点O，连接，

因为金字塔可视为一个正四棱锥，

故以点O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

又由题意可得，，

所以，

所以，，，，，，

不妨设，又因为，所以，

即，，，解得，，，即，

，，，

设平面AEC的法向量为，则，，

即，取，得，

所以点D到平面的距离.

5．答案：D

解析：由题意知,直线l的一个方向向量为,

取直线l的一个单位方向向量为,

又为直线外一点,且直线l过点,

,

点A到直线l的距离为

故选:C.

6．答案：A

解析：由于,故直线的方向向量与平面法向量平行,故,

故选:A

7．答案：A

解析：以点C为原点，以，，为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，所以，，所以，

故选：A.

8．答案：C

解析：解法一：如图，设直线PC在平面PAB的射影为PD，

作于点G，于点H，连接HG，

易得