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(完整word)牛吃草问题例题及练习

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牛吃草问题

牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的.

典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变,不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同,求若干头牛吃这片草地可以吃多少天.由于吃的天数不同,草又是天天在生长的，所以草的存量随吃的天数不断地变化。

基本思路：假设每头牛一定时间内吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。

基本特点：原草量和新草生长速度是不变的；

解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：

（1)草的生长速度＝(对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）;

（2）原有草量＝（牛头数×吃的天数）－(草的生长速度×同一个吃的天数）；

（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

例1?牧场上有一片匀速生长的牧草，可供27头牛吃6天,或供23头牛吃9天，那么这片牧草可供多少头牛吃12天？

解：27头牛6周的吃草量27×6＝16223头牛9周的吃草量23×9＝207

★每天新生的草量(207－162)÷（9－6)＝15

★原有的草量207－15×9＝72★吃12天牛的头数:72÷12+15=21（头）

例2?一只船发现漏水时,已经进了一些水，水匀速进入船内。如果派10人淘水，6小时淘完；如果派6人淘水，18小时淘完。如果派22人淘水，多少小时可以淘完？

解：10人6小时淘水量10×6＝606人18小时淘水量6×18＝108

★漏进的新水（108－60)÷（18－6）＝4

★原有漏进的水60－4×6＝36★22人需要时间:36÷（22—4）=2时

例3?某车站在检票前若干分钟就开始排队,每分钟来的旅客人数一样多．从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟．如果同时打开7个检票口,那么需多少分钟？

解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。

假设一个检票口一分钟能检票的人数看成“1份。

30分钟的总量：4×30=12020分钟的总量:5×20=100

★每分钟新增的量：（120-100)÷（30-20）=2

★原有的量：120—2×30=60或?????100-2×20=60

★7个检票口需要时间：60÷（7-2)=12（分）

例4?两个顽皮的孩子逆着自动滚梯行走，男孩每秒可走3级台阶,女孩每秒可走2级台阶，结果从滚梯一端到达另一端,男孩走了100秒，女孩走了300秒，该滚梯共有多少级?

解：男生走了:3×100=300（级）女生走了：2×300=600(级）

★每秒新增的量：（600-300)÷（300-100）=1。5（级)????（自动滚梯的速度）

?原有的量（自动滚梯原有的级数）：?300—1.5×100=150（级）或600—1。5×300=150（级)

例5?自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼．已知男孩每分钟走80级梯级，女孩每分钟走60级梯级，结果男孩用了0.5分钟到达楼上，女孩用了0。6分钟到达楼上．问：该扶梯共有多少级？

每分钟减少的量:（80×0。5-60×0。6)÷（0。6—0。5）=40(级/分）??(自动扶梯的速度）

★原有的量:80×0。5+40×0。5=60(级）

例6?由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天,或可供15头牛吃6天．照此计算，可供多少头牛吃10天？

解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少．但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。

★每天减少的量：（20×5—15×6)÷（6-5)=10

★原有的量：20×5+5×10=150

★吃10牛的头数:150÷10—10=5（头）

解决方法二利用公式解方程

草地原有草量=（牛数—每天长草量）x天数作为等量关系式.

y=（N-X）*T其中，Y代表原有草量,N代表牛的头数，X代表草生长速度，T代表天数。

【例1】一片牧场，假设每天的长草量相同.9头牛吃3天，5头牛吃6天，多少头牛2天吃完?（)A。12B.13C。14D。15

解析：题目给了2个条件,将两个条件分别代入公式中，得到两个方程：

y=(9—X）＊3=（5—X）＊6

两个方程可以解得x=1，y=24。

将x