工科数学分析 下册（第2版）课件：方向导数与梯度.pptx

方向导数

与梯度;方向导数与梯度;实例：一块长方形的金属板，四个

顶点的坐标是(1,1)，(5,1)，(1,3)，

(5,3)．在坐标原点处有一个火焰，

它使金属板受热．假定板上任意

一点处的温度与该点到原点的距离

成反比．在(3,2)处有一个蚂蚁，问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？;讨论函数在一点P沿某一方向的变化率问题．;当沿着趋于时，;记为;方向导数最大的方向是函数值变化最骤烈的方向.;证明;;解;解;故;推广可得三元函数方向导数的定义;三、梯度的概念;结论;沿着梯度方向,函数的方向导数最大,即函数的变化率最大.

沿着正梯度方向,函数的值增加得最快,变化率为梯度的模;

沿着负梯度方向,函数的值下降得最快,变化率亦为梯度的模;

沿着与梯度方向垂直的方向,函数的值变化得最慢,变化率为零.;类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.;解;1、方向导数的概念;Del，或称nabla，是数学中的一个算子，特别是在向量微积分中，作为一个向量微分算子，通常用nabla符号?表示。当应用于一个定义在一维域上的函数时，它表示微积分中定义的标准导数。当应用于一个场（定义在多维域上的函数）时，del可以表示标量场的梯度（局部最陡峭的斜率）。del符号可以被解释为偏导算子的矢量。;作业