质点振动讲解常微分.pptVIP

LOGO质点振动PART1Contents（1）无阻尼自由振动（2）有阻尼自由振动（3）无阻尼强迫振动（4）有阻尼强迫振动质点振动振动是日常生活和工程技术中常见的一种运动形式。例如钟摆的往复摆动，弹簧的振动，乐器中弦线的振动，机床主轴的振动，电路中的电磁振荡等等。振动问题的研究，在一定条件下，可以归结为二阶常系数线性微分方程的问题来讨论。下面我们以第一章里所举的力学典型例子数学摆作为具体的物理模型，利用常系数线性微分方程的理论，讨论有关自由振动和强迫振动的问题，并阐明有关的一些物理现象。至于RLC电路中的电磁振荡完全可以同样地加以讨论。数学摆是系于一根长度为l的线上而质量为m的质点M，在重力作用下，它在垂直于地面的平面上沿着圆周运动，如图：（1）无阻尼自由振动考察数学摆的无阻尼微小自由振动方程1，（1.9）2记，这里是常数，（1.9）变为3（4.39）4这是二阶常系数齐次线性微分方程，它的特征方程为5特征根为共轭复根6因此，方程（4.39）的通解为7,（4.40）8其中，为常数。为了获得明显的物理意义，令，因此，若取，则（4.40）可以写成即（4.41）这里A，代替了，作为通解中所含的两个任意常数。从通解（4.41）可以看出，不论反映摆的初始状态的A与为何值，摆的运动总是一个正弦函数，它是t的周期函数.这种运动成为简谐振动。振动往返一次所需的时间称为周期，记为T，这里；单位时间内振动的次数成为频率，记作，这里；而称为圆周率。从而得出结论：数学摆的周期只依赖于摆长l，而与初值无关。（参看图（4.1））。图（4.1）此外，摆离开平衡位置的最大偏离称为振幅。数学摆的振幅为A，而称为初位相。这里，振幅和初位相都依赖于初值条件。如果把数学摆移至位置处，然后突然松开，使其自由摆动，这就相当于给定如下的初值条件：时，（4.42）把（4.42）代入通解（4.41），得到于是得初位相，振幅。因此，所求的特解为：（2）有阻尼自由振动从通解（4.41）可以看到，无阻尼的自由振动是按正弦规律作周期运动，摆动似乎可以无限期的进行下去。但是，实际情况并不是如此，摆总是经过一段时间的摆动后就会停下来，这说明我们所得的方程并没有完全反映物体运动的规律。因为空气阻力在实际上总是难免的，因此必须把运动阻力这一因素考虑进去，从而得到第一章已推导过的摆的有阻尼的自由振动方程，（1.10）记，，这里n，是正常数，（1.10）可以写成：（4.43）它的特征方程为：，（4.44）特征根为：对于不同的阻尼值n，微分方程有不同形式的解，它表示不同的运动形式，现分下面三种情况进行讨论：小阻尼的情形：即n的情形，这时，为一对共轭复根，记，则。而方程（4.43）的通解为：和前面无阻尼的情形一样，可以把上述通解改写成如下形式：（4.45）这里A，为任意常数.从（4.45）可见，摆的运动已不是周期的，振动的最大偏离随着时间增加而不断减小，而摆从一个最大偏离到达同侧下一个最大偏离所需的时间为。图（4.2）表示函数（4.45）的图形，图上虚线是的图形。而实线表示摆运动的偏离随时间变化的规律，它夹在两条虚线中间振动。因为阻尼的存在，摆的最大偏离随时间增大而不断减小，最后摆趋于平衡位置。图（4.2）0102②大阻尼的情形：即n的情形，这时，特征方程（4.44）有两个不同的负实根。方程（4.43）的通解为（4.46）这里，是