人教版新课程标准高中数学必修一4.5 函数的应用（二） (16)教学课件幻灯片PPT.pptxVIP

4.5.3函数模型的应用

学习目标：

1.会通过具体的函数模型分析实际问题，达到数学

建模和数学运算核心素养

2.能够对问题进行分析，建立合适的数学模型，并

对不同数学模型的契合度进行比较，择优选择，达

到数学建模核心素养学

学习重点：

根据图、表信息建立函数模型，解决实际问题.

情景导入

人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口

数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据.

早在1798年，英国经济学家马尔萨（T.R.Malthus，

1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模

型：，其中t表示经过的时间，表示t=0时

的人口数，r表示人口的年平均增长率.

（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年

末的人口总数分别为55196万和67207万，根据这些数据，用马尔

萨斯人口增长模型建立我国在1950--1959年期间的具体人口增长

模型.

（2）利用（1）中的模型计算1951--1958年各年末的人口总数.

查阅国家统计局网站公布的我国在1951--1958年间各年末的实际

人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.

（3）以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到

13亿?

探究:数学建模

解：（1）由题意知=55196，设1950-1959年期间

我国人口的年平均增长率为r，根据马尔萨斯人口增长

模型，有67207=55196，由计算工具r≈0.021

876.

因此，我国在1950--1959年期间的人口增长模型为

（2）分别取t=1,2,….,8,由

可得我国在1951~1958年间的各年末人口总数；查阅国

家统计局网站，得到我国1951~1958年各年末的实际人

口总数，如下表所示：

年份19511952195319541955195619571958

计算所得人口数/万564157665894602461576293864336575

7503603

实际人口总数/万563057485879602661466282864566599

0266534

根据1950--1959年我国人口总数的实际数据画出散

点图，并画出函数.

由表和图可以看

出，所得模型与

1950--1959年

的实际人口数据

基本吻合.

（3）将y=130000代入，由计算工具得

t≈39.15.所以，如果人口按照（1）中的模型增长，那么

大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就

已占到13亿.

形如的函数为指数型函数，生产生活中有很

多以此函数建构模型的实例.

例1.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案

供你选择，这三种方案的回报如下：

方案一：每天回报40元；

方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报

10元；

方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天

翻一番.

你会选择哪种投资方案?

先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它

们的增长情况，为选择投资方案提供依据.

解题步骤

解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40

（x∈N*）进行描述；

方案二可以用函数y=10x（x∈N*）.

进行描述；方案三可以用函数

进行描述,三种方案所得回报的增长情况的见教材第151

页表4.5-5.