102-二重积分的计算法1-直角坐标系下省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件.pptxVIP

*三、二重积分换元法

第二节

一、利用直角坐标计算二重积分

二、利用极坐标计算二重积分

二重积分计算法

第十章

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（1）X型区域上二重积分

求二重积分

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回想：求立体体积“切片法”

已知：平面截面面积

则立体体积为：

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设曲顶柱底为

任取

平面

故曲顶柱体体积为

截面积为

截柱体

记作

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记作

二次积分

累次积分

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记作

二次积分

积分次序：先x后y

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例1.计算

其中D是直线y＝1,x＝2,及

y＝x所围闭区域.

解法1.将D看作X-型区域,则

解法2.将D看作Y-型区域,则

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例2.计算

其中D是抛物线

所围成闭区域.

解:为计算简便,先对x后对y积分,

及直线

则

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例3.计算

其中D是直线

所围成闭区域.

解:由被积函数可知,

所以取D为X-型域:

先对x积分不行,

说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分次序.

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说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分次序.

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例4.交换以下积分次序

解:

依据所给二次积分上下限画出积分区域D图形

将D视为另一类型区域

重新定限

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例5.交换以下积分次序

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练习.交换积分次序

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例6.交换以下积分次序

解:积分域由两部分组成:

视为Y-型区域,则

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例6.计算

其中D由

所围成.

解:令

(如图所表示)

显然,

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练习.

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例7.求两个底圆半径为R直角圆柱面所围体积.

解:设两个直圆柱方程为

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内容小结

(1)二重积分化为累次积分方法

直角坐标系情形:

若积分区域为

则

若积分区域为

则

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(2)计算步骤及注意事项

•画出积分域

•确定积分序

•写出积分限

•计算要简便

积分域分块要少

累次积好算为妙

图示法

不等式

:充分利用对称性

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