2024_2025学年高中数学第三章指数函数和对数函数2.2.1指数概念的扩充学案北师大版必修1.docVIP

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指数概念的扩充

1．分数指数幂

(1)定义：给定正实数a，对于随意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，则b为a的eq\f(m,n)次幂，记作b＝．

(2)意义：

正分数指数幂

负分数指数幂

0的分数指数幂

前提条件

a0，m，n均为正整数，m，n互素

结论

aeq\f(m,n)＝

＝0，无意义

2．n次方根的性质

3．无理数指数幂

无理数指数幂aα(a0，α是无理数)是一个确定的正实数．

实数指数幂aα有意义的条件是什么？

提示：当a0时，α为随意实数值，实数指数幂aα都有意义．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)当n∈N＋时，(eq\r(n,－16))n都有意义．()

(2)随意实数都有两个偶次方根，它们互为相反数．()

(3)eq\r(（3－π）2)＝π－3.()

(4)0的任何指数幂都等于0.()

提示：(1)×.当n是偶数时，(eq\r(n,－16))n没有意义．

(2)×.负数没有偶次方根．

(3)√.因为eq\r(（3－π）2)＝|3－π|＝π－3.所以(3)正确．

(4)×.0的零次幂和0的负分数指数幂无意义．故(4)错误．

2．若aeq\f(1,4)，则化简eq\r(4,（4a－1）2)的结果是()

A．eq\r(1－4a) B．eq\r(4a－1)

C．－eq\r(1－4a) D．－eq\r(4a－1)

【解析】选A.因为aeq\f(1,4)，所以4a－10；

所以eq\r(4,（4a－1）2)＝eq\r(1－4a).

3．(教材例题改编)已知x3＝27，则x的值为()

A．3B．－3C．3eq\r(3)D．－3eq\r(3)

【解析】选A.由于x3＝27，

故x为27的立方根，故x＝3.

类型一分数指数幂概念的理解(数学抽象)

1.中x的取值范围是________.

【解析】由分数指数幂的意义可知x－10，解得x1，故x的取值范围是{x|x1}．

答案：{x|x1}

2．把下列各式中的b(b0)写成分数指数幂的形式：

(1)b7＝64.(2)b4＝(－3)2.(3)b－4＝18.

【解析】(1)b7＝64＝26，所以b＝．

(2)b4＝(－3)2＝32＝9，所以b＝．

(3)b－4＝18，所以b＝＝．

分数指数幂定义的应用

(1)将分数指数幂化为整数指数幂．

由a＝(或b＝，a＞0，b＞0，m，n∈N＋可得am＝bn.

(2)求指数幂的值．

①视察是否符合分数指数幂的定义．

②当bn＝am时，转化为＝b(m，n∈N＋，a，b＞0)求结果．

提示：底数为分数，指数为负数时，可以干脆将底数的分子分母颠倒，指数化为正，如.

【补偿训练】

中，x的取值范围是________．

【解析】＝＝eq\f(1,\r(3,2x－1))，

则2x－1≠0，即x≠eq\f(1,2)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(1,2))).

答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠\f(1,2)))

类型二根式与分数指数幂的互化(数学运算)

角度1分数指数幂化根式

【典例】用根式的形式表示下列各式(x0).

(1)．

(2)．

【解析】(1)＝eq\r(5,x2).

(2)＝eq\f(1,\r(3,x5)).

用根式表示(x0，y0).

【解析】＝＝eq\f(1,\r(x))·.

角度2根式化分数指数幂

【典例】把根式化为分数指数幂，把分数指数幂化为根式(式中字母均为正实数).

(1)；(2)；(3)；(4).

【思路导引】依据根式与分数指数幂的互化性质进行转化．

【解析】(1)＝eq\f(1,\r(9,b7)).

(2)＝．

(3＝eq\r(4,（a＋b）3).

(4)＝．

1．在实数指数幂的化简与计算中，分数指数幂形式在应用上比较便利．而在求函数的定义域中，根式形式较简单视察出各式的取值范围，故分数指数幂与根式的互化是学习的重点内容，要切实驾驭．

2．分数指数幂与根式互化的三个留意点

(1)在中，a＞0，m，n∈N＋，写成根式时，n为根指数，m为a的指数．

(2)去掉条件a＞0，有时根式与分数指数幂也可以互化，如＝eq\r(3,（－2）2)＝eq\r(3,22)，但此时应留意根式要有意义.

(3)分数指数幂的意义来源于根式，而要使根式有意义，根指数必需是大于1的整数，同时要留意被开方数也要有意义．

提示：根式化为分数指数