2025版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数2.1指数函数的概念学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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指数函数的概念

课标解读

课标要求

素养要求

1.通过详细实例了解指数函数的实际意义.

2.理解指数函数的概念.

1.数学抽象——通过实例了解指数函数的概念.

2.数学建模——能从实例中体会指数型函数模型在实际问题中的应用.

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

要点一指数函数的概念

一般地，函数y=ax(a0，且a≠1)叫做①指数函数，其中②指数x

要点二指数型函数模型

在实际问题中，常常会遇到指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长y，则y=④N(1+p)x(x∈N).形如y=kax(k∈R

自主思索

1.某口罩厂2024年1月份平均日产量为20万个，1月底因防控新冠疫情需求，工厂马上确定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到45万个.则口罩厂日产量的月平均增长率是.

答案：50%

解析：提示设口罩厂日产量的月平均增长率是x，依题意得20(1+x)2=45，解得x1=0.5=50%

名师点睛

规定a＞0，且a≠1的理由

（1）假如a=0，那么当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，a

（2）假如a＜0,如y=(-2)x，那么对于

（3）假如a=1，那么y=1x是一个常量，无

为了避开上述各种状况的发生，所以规定a＞0且a≠1.

互动探究·关键实力

探究点一指数函数的概念

精讲精练

例（1）下列各函数中，是指数函数的为()

A.y=

B.y=(-4

C.y=

D.y=

（2）若函数y=(2a-1)x（x是自变量）是指数函数，则

A.(0,1)∪(1,+∞)

B.[0,1)∪(1,+∞)

C.(

D.[

答案：（1）D

（2）C

解析：（1）A中，自变量出现在底数上，故不是指数函数；

B中，自变量出现在指数上，但-4＜0，不满意“底数大于0且不等于1”的条件，故不是指数函数；

C中，指数是x+1，故不是指数函数；

D中，y=5

（2）依题意得2a-1＞0，且2a-1≠1，解得a＞12,

解题感悟

指数函数的解析式必需具有三个特征：

（1）底数a为大于0且不等于1的常数；

（2）指数位置是自变量x，且指数位置上只有x这一项；

（3）指数式只有一项，且ax

迁移应用

1.下列是指数函数的是()

A.y=-3x

C.y=ax

答案：D

2.若函数y=(a2-3a+3)?

答案：由指数函数的概念知，

a2-3a+3=1,a

探究点二求指数函数的解析式或函数值

精讲精练

例（2024湖南临澧第一中学高一期中）指数函数f(x)的图象过点(-2，4），则f(2)=.

答案：1

解析：设f(x)=ax(a＞0,且a≠1)，因为f(x)的图象过点(-2,4)，所以a-2=4,解得a=

解题感悟

求指数函数的解析式或函数值的关键是求底数a，并留意a的限制条件，主要采纳待定系数法求底数a.

迁移应用

1.假如指数函数y=f(x)的图象经过点(-2,14)

A.8B.16C.32D.64

答案：D

解析：设f(x)=ax(a＞0,且a≠1)，结合题意可得a-2=14

探究点三指数型函数模型的应用

精讲精练

例某地区2012年年底的人口数量为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2024年年底该地区的人均住房面积至少为7平方米，则平均每年新增住房面积至少万平方米（精确到1万平方米，参考数据：1.019

答案：83

解析：设平均每年新增住房面积x万平方米，

则500×6+11x500×(1+1%

解得x≥3500×

即平均每年新增住房面积至少83万平方米.

解题感悟

在解决指数型函数模型的应用问题的过程中，大多须要依据条件列出方程，进而求解.

迁移应用

1.某城市房价（均价）经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元

A.32-1×100%

C.50%D.60%

答案：A

解析：设这6年间平均每年的增长率为x，则1200(1+x)6=4800

2.已知某种产品的生产成本每年降低25%.若该产品2015年年底的生产成本为6400元/件，则2024年年底的生产成本为元/件.

答案：2700

解析：由题意得，2024年年底的生产成本为6400×(1-25%)

评价检测·素养提升

1.下列函数中肯定是指数函数的是()

A.y=2x+1B.y=x4

答案：D

2.若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(x)的解析式为()

A.f(x)=x3

C.f(x)=(12

答案：B

3.若函数f(x)=(12a-3)

答案：2

解析：∵函数f(x)=(12a-3)a