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概率论与数理统计试题(答案)

一、选择题（每题3分，共15分）

1.设事件\(A\)与\(B\)互不相容，\(P(A)=0.2\)，\(P(B)=0.3\)，则\(P(A\cupB)\)等于（）

A.\(0.2\)B.\(0.3\)C.\(0.5\)D.\(0.6\)

答案：C

详细解答：因为事件\(A\)与\(B\)互不相容，根据互斥事件概率加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)\)。已知\(P(A)=0.2\)，\(P(B)=0.3\)，所以\(P(A\cupB)=0.2+0.3=0.5\)。

2.设随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，且\(P(X=1)=P(X=2)\)，则\(\lambda\)等于（）

A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)

答案：B

详细解答：若随机变量\(X\)服从参数为\(\lambda\)的泊松分布，其概率分布为\(P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{\lambda}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)。已知\(P(X=1)=P(X=2)\)，即\(\frac{\lambda^{1}e^{\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^{2}e^{\lambda}}{2!}\)，因为\(e^{\lambda}\neq0\)，两边同时约去\(e^{\lambda}\)，得到\(\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}\)，移项可得\(\lambda^{2}2\lambda=0\)，即\(\lambda(\lambda2)=0\)，解得\(\lambda=0\)或\(\lambda=2\)，由于\(\lambda0\)，所以\(\lambda=2\)。

3.设随机变量\(X\)的期望\(E(X)=2\)，方差\(D(X)=4\)，则\(E(2X3)\)等于（）

A.\(1\)B.\(2\)C.\(3\)D.\(4\)

答案：A

详细解答：根据期望的性质\(E(aX+b)=aE(X)+b\)，其中\(a\)，\(b\)为常数。已知\(a=2\)，\(b=3\)，\(E(X)=2\)，则\(E(2X3)=2E(X)3=2\times23=1\)。

4.设总体\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)，则\(\overline{X}\)服从（）

A.\(N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)B.\(N(\mu,\sigma^{2})\)C.\(N(0,1)\)D.\(N(n\mu,n\sigma^{2})\)

答案：A

详细解答：若总体\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是来自总体\(X\)的样本，根据正态分布的性质，样本均值\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)服从正态分布\(N(\mu,\frac{\sigma^{2}}{n})\)。

5.在假设检验中，记\(H_0\)为原假设，\(H_1\)为备择假设，则犯第一类错误是指（）

A.\(H_0\)为真，接受\(H_0\)B.\(H_0\)为假，接受\(H_0\)

C.\(H_0\)为真，拒绝\(H_0\)D.\(H_0\)为假，拒绝\(H_0\)

答案：C

详细解答：第一类错误是指原假设\(H_0\)为真时，却拒绝了\(H_0\)；第二类错误是指原假设\(H_0\)为假时，却接受了\(H_0\)。

二、填空题（每题3分，共15分）

1.已知\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.5\)，\(P(A\capB)=0.2\)，则\(P(A|B)=\)______。

答案：\(0.4\)

详细解答：根据条件概率公式\(P(A|B)=\frac{P(A\capB)}{P(B)}\)，已知\(P(A\capB)=0.2\)，\(P(B)=0.5\)，所以\(P(A|B)=\frac{0.2}{0.5}=0.4\)。

2.设随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f(x)=\begin{cases}2x,0x1\\0,\text{其他}\end{cases}\)，则\(P(0.2X0.5)=\)_