2024_2025学年新教材高中数学第2章函数1生活中的变量关系学案北师大版必修第一册.docVIP

PAGE

PAGE4

生活中的变量关系

学习目标

核心素养

1．了解生活中两个变量之间的依靠关系现象．(重点)

2．能辨析依靠关系和函数关系的区分和联系．(重、难点)

通过生活中的变量关系的学习，培育数学建模素养.

怎样的依靠关系是函数关系？

1．依靠关系

一般地，在某改变过程中有两个变量，假如其中一个变量的值发生了改变，另一个变量的值也会随之发生改变，那么就称这两个变量具有依靠关系．

2．函数关系

一般地，当变量x每取一个值，另一个变量y都有唯一确定的值与之对应时，变量x，y之间具有函数关系，并且y是x的函数．

(1)某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，则他的高度与摩天轮转动时间有依靠关系吗？当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了多少分钟？

(2)某人坐摩天轮一圈用时8分钟．若摩天轮匀速转动，若把摩天轮的转动时间作为自变量，他的高度h为因变量，则每取一个t值，有几个h值与之对应？

[提示](1)该人的高度与摩天轮转动时间有依靠关系．当他位于摩天轮一半高度时，摩天轮转了2分钟或6分钟．

(2)每取一个t值，有唯一一个h值与之对应．

1.下列各量间不存在依靠关系的是()

A．扇形的圆心角与它的面积

B．某人的体重与其饮食状况

C．水稻的亩产量与施肥量

D．某人的衣着价格与视力

[答案]D

2.给出下列关系：

①人的年龄与他(她)拥有的财宝之间的关系；

②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；

③橘子的产量与气候之间的关系；

④某同学在6次考试中的数学成果与他的考试号之间的关系．

其中不是函数关系的有________(填序号)．

①③④[由已知关系推断得，①③④中关系不确定，故不是函数关系，只有②是函数关系．]

类型1依靠关系与函数关系的辨析

【例1】下列各组中两个变量之间是否存在依靠关系？其中哪些是函数关系？

①速度不变的状况下，汽车行驶的路程与行驶时间；

②家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；

③正三角形的面积和它的边长．

[解]①中在速度不变的状况下，行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系；

②中家庭收入与其消费支出之间存在依靠关系，但具有不确定性；

③中正三角形的面积S与其边长a间存在S＝eq\f(\r(3),4)a2的关系．

综上可知①②③中两个变量间都存在依靠关系，其中①③是函数关系．

推断两个变量有无依靠关系，主要看其中一个变量改变时，另一个变量是否随之改变．而推断两个变量是否具有函数关系，关键是看对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．

eq\a\vs4\al([跟进训练])

1．下列过程中，各变量之间是否存在依靠关系？若存在依靠关系，则其中哪些是函数关系？

(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，视察温度计示数的改变，冷却时间与温度计示数的关系；

(2)家庭的食品支出与电视机价格之间的关系．

[解](1)冷却时间与温度计示数具有依靠关系，依据函数定义知，二者之间是函数关系；

(2)家庭的食品支出与电视机价格之间没有依靠关系；

综上可知，(1)中的变量间具有依靠关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依靠关系．

类型2变量关系的表示

【例2】声音在空气中传播的速度简称音速，试验测得音速与气温的一些数据如下表：

气温x/℃

0

5

10

15

20

音速y(米/秒)

331

334

337

340

343

(1)依据表内数据作图；

(2)用x表示y；

(3)气温为22℃时，某人看到烟花燃放5秒后才听到声响，那么此人与燃放的烟花所在地约相距多少米．

[解](1)

此图反映的是变量音速随气温的改变．

(2)由表中数据可知，气温每上升5℃，音速加快3米/秒，又过点(0,331)，

故所求函数关系式为y＝eq\f(3,5)x＋331.

(3)由(2)可知气温为22℃时，音速y＝eq\f(3,5)×22＋331，

故此人与燃放的烟花所在地约相距为5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)×22＋331))＝66＋1655＝1721(米)．

借助图表可使两个变量间的关系直观化，从而更便于我们从中发觉规律．

eq\a\vs4\al([跟进训练])

2．心理学家发觉，学生对概念的接受实力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如下关系：(其中0≤x≤20)

提出概念

所用时间(x)

2

5

7

10

12

13

14

17

20

对概念的

接受实力(y)

47.8

53.5

56.3

59

59.8

59.9

59.8

58.3

55

(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？

(2)当提出概念所用时间是10分钟时，学生的接受