辗转相除法与更相减损术.pptVIP

(3)、程序开始输入m，nnk？m=n是输出m结束m≠n？k=m-n是否n=km=k否INPUTm，nWHILEmnk=m-nIFnkTHENm=nn=kELSEm=kENDIFWENDPRINTmEND*边城高级中学张秀洲通过阅读中国古代中的更相减损术算法案例，体会中国数学对世界数学发展的贡献；知道辗转相除法和更相减损术，能用辗转相除法和更相减损术求两个正整数的最大公约数．自学教材P34-P37解决下列问题一、能用辗转相除法和更相减损术求两个正整数的最大公约数.二、《学海导航》P25-P26“双层练习”“范例剖析”三、教材P45第1题例：求下面两个正整数的最大公约数：求25和35的最大公约数求49和63的最大公约数9（1）所以，25和35的最大公约数为55思考：除了用这种方法外还有没有其它方法？25例：如何算出8251和6105的最大公约数？3557749所以，49和63的最大公约数为7637辗转相除法（欧几里得算法）定义：所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽,则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。01040203步骤:（以求8251和6105的最大公约数的过程为例）第一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数

8251=6105×1+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步对6105和2146重复第一步的做法6105=2146×2+1813

同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。完整的过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例:用辗转相除法求225和135的最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数思考1：从上面的两个例子中可以看出计算的规律是什么？S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？算法步骤：输入两个正整数m,n(mn).计算m除以n所得的余数r.m=n,n=r.若r＝0,则m,n的最大公约数等于m；否则转到第二步.输出最大公约数m.(2)、程序框图：开始输入m，n求m除以n的余数rm=nn=rr=0？是输出m结束否开始输入m，n求m除以n的余数rm=nn=rr=0？是输出m结束否INPUTm，nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND(3)、程序：思考:如果用当型循环结构构造算法，则用辗转相除法求两个正整数m，n的最大公约数的程序框图和程序分别如何表示？开始输入m，n求m除以n的余数rm=nn0？否输出m结束是n=rINPUTm，nWHILEn0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND1、背景介绍：二、更相减损术可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。（1）、《九章算术》中的更相减损术：（2）、现代数学中的更相减损术：2、定义：所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去