河北省2024−2025学年高三下学期省级联测考试数学试卷[含答案].docx

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河北省2024?2025学年高三下学期省级联测考试数学试卷

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

2．若复数满足，其中是虚数单位，则（???）

A． B． C． D．

3．已知向量，满足，，，则向量与的夹角为（???）

A．30° B． C． D．135°

4．高相同的圆柱与圆台的体积分别为，，且圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，则与的关系为（???）

A． B． C． D．不确定

5．已知，，则（???）

A． B． C． D．

6．已知函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（???）

A． B． C． D．

7．已知函数在上单调递减，在上单调递增，且圆内恰好包含的三个极值对应的点，则的取值范围是（???）

A． B． C． D．

8．已知函数，则是（???）

A．偶函数，有最小值 B．偶函数，有最大值

C．奇函数，在上单调递增 D．奇函数，在上单调递减

二、多选题（本大题共3小题）

9．设，则下列结论正确的是（???）

A． B．若，则的最小值为4

C． D．

10．已知函数，则下列结论正确的是（???）

A．若在上单调递减，则的最大值为1

B．当时，

C．当时，

D．存在直线，使得与的图象有4个交点

11．已知常见“对勾函数”的图象也是双曲线，其渐近线分别为与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.设双曲线的一条渐近线与双曲线的实轴夹角为，其离心率为，双曲线的实轴长为，离心率为，则下列结论正确的是（???）

A． B．点是的一个顶点

C． D．

三、填空题（本大题共3小题）

12．若抛物线上一点到其焦点的距离为5，则.

13．已知数列中，，，，则的前项和.

14．已知集合，是集合的含两个元素的子集，且，则中两元素之差的绝对值等于中两元素之差的绝对值的概率为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，是的中点，且.

(1)求四棱柱的外接球的表面积；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

16．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于另一点，且.

(1)求椭圆的方程；

(2)已知点在椭圆上，过向直线引垂线交于点，若，求直线的方程.

17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D为边上一点.

(1)若，，求的值；

(2)若，是角的平分线，且，求的值.

18．已知，曲线与曲线在它们的交点处的切线相互垂直.

(1)求a，b的值；

(2)当时，求证：.

19．已知函数.

(1)求函数图象的对称中心；

(2)设方程的两个实数根为，，求证：为常数；

(3)在数列中，，，求证：.

参考答案

1．【答案】B

【详解】根据题意，由，得，

所以集合，

易知，

，

故选：B.

2．【答案】A

【详解】设，则，因此，

则，，即，所以.

故选：A

3．【答案】C

【详解】由已知得，即，

即

又，

两式联立可得：，则向量与的夹角为

故选：C.

4．【答案】A

【详解】设圆台的上、下底面积分别为，，圆柱的底面积为，高为，

根据圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，

，，

，

故选：A.

5．【答案】C

【详解】由已知，

即

则，

∴，

故选：C.

6．【答案】D

【详解】因为函数与均是增函数，

所以，函数是上的增函数只需满足，即，解得，

由得，即恒成立，

所以，当时，函数取得最大值，所以，，即，

因此，实数的取值范围是.

故选：D.

7．【答案】B

【详解】由已知在处取得最小值，

，，解得，

∵函数在上单调递减，

，即，，

当时，，，符合条件，

.

由图像知轴右侧包含两个极值对应的点，左侧包含一个极值对应的点，

的取值范围是大于原点右侧第二个极值对应的点到原点的距离，小于等于原点左侧第二个极值对应的点到原点的距离，即，

故选：B.

8．【答案】B

【详解】函数的定义域为R，

，

，故函数为偶函数.

令，则，

，

所以，由复合函数的单调性可得在上单调递减，

在处取得最大值，

故选：B.

9．【答案】ACD

【详解】对于A，，由指数函数单调递增，，即，故A正确；

对于B，，

等号成立条件，由于，显然等式不成立，故最大值比0小，

所以最小值不可能为4，故B错误；

对于C，由已知，，，即，故C正确；

对于D，，由幂函数单调递增，，即，故D正确，

故选:ACD.

10．【答案】BCD

【详解】解：，由，解得，的最大值为，故A不正确；

当时，，即.

设，则，

在处取得最小值，故B正确；

当时，，即.

由B选项的过程知，在时，，

在上单调递减，，故C正确；

画出的图象如图，

可知存在直线，使得与的图象有4个交点，故D正确，

故选：BCD.

11．【答案】ACD

【详解】如图1，当