黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024−2025学年高三下学期开学考试数学试题[含答案].docx

PAGE/NUMPAGES

黑龙江省牡丹江市第一高级中学2024?2025学年高三下学期开学考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．设集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知，则“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知复数是虚数单位则（????）

A．复平面内z对应的点在第二象限 B．

C．z的虚部是2 D．

4．已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（????）

A． B．

C． D．

5．如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为1cm，杯内的底部半径为3cm，当杯子盛满水时，杯子上端的水面直径为12cm，且杯子的容积为，则该杯子的高度为（????）

A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm

6．已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（???）

A． B． C． D．

7．若外接圆的半径为，且，则（????）

A．2 B． C．3 D．

8．函数若有两个零点的零点为则关于的不等式不能成立的是（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知直线和圆，则（????）

A．直线l恒过定点（2，0）

B．存在k使得直线l与直线垂直

C．直线l与圆O相交

D．若，直线l被圆O截得的弦长为

10．下列说法中正确的是（???）

A．已知某个家庭先后生了两个小孩，当两个小孩中有女孩的条件下，两个小孩中有男孩的概率为

B．马路上有依次编号为1，2，3，…，10的10盏路灯，为节约用电，某个时间段可以把其中的3盏灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏，且两端的灯也不能关掉，则满足条件的不同关灯方法有20种

C．已知随机变量，且，则的最小值为3

D．对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据，，，其经验回归方程，则在样本点处的残差为0.5

11．如图，过抛物线E：的焦点作两条直线，，与E相交于C，D两点，与E相交于A，B，则下列说法中正确的是（???）

A．若点，则周长的最小值为

B．的最小值为

C．若，则四边形ABCD面积的最小值为32

D．若BC过定点，则AD过定点

三、填空题（本大题共3小题）

12．二项式的展开式中的常数项为.

13．如图将一个矩形划分为如下的A、B、C、D、E、F六个区域，现用四种不同的颜色对这六个区域进行染色，要求边界有重合部分的区域（顶点与边重合或顶点与顶点重合不算）染上不同的颜色，并且每一种颜色都要使用到，则一共有种不同的染色方案.

14．如图所示，将绘有函数部分图像的纸片沿x轴折成钝二面角，夹角为，此时A，B之间的距离为，则．

四、解答题（本大题共5小题）

15．据统计，某地一特色饭店年月份共有个网上点餐订单，好评率为.为了提高服务质量，饭店进行了服务改进，已知服务改进后该饭店月份共有个网上点餐订单，其中好评订单有个.

(1)根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为该饭店月份订单的好评与服务改进有关；

好评订单个数

非好评订单个数

合计

服务改进前

服务改进后

合计

(2)若从月、月这两个月网上点餐的订单中按照是否好评对总体进行分层，用分层随机抽样的方法抽取个订单分析顾客的意见，再从这个订单中随机抽取个订单进行电话访谈，求其中恰好有个订单为好评订单的概率.

附：.

16．如图，在正三棱柱中，侧棱与底面边长均为2，点分别为的中点，点满足.

(1)求证：四点共面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

17．已知首项为1的等差数列满足：成等比数列.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足：，求数列的前项和.

18．已知线段，动点与点、的斜率之积为，点在线段上，且，过作两条互相垂直的直线和动点的轨迹分别交于点、和点、．

(1)建立适当坐标系，求动点的轨迹的方程，

(2)求四边形面积的最小值．

19．已知函数（其中）.

(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；

(2)若恒成立，求的取值范围；

(3)设，且函数有极大值点，求证：.

参考答案

1．【答案】C

【详解】由，得，解得，即，由，得，

所以.

故选：C

2．【答案】A

【详解】，若，则，

，则前者可以推出后者，

，若，则，则后者无法推出前者，

故前者是后者的充分不必要条件，

故选：A.

3．【答案】B

【详解】对应的点为，在第四象限，故A错误；

，故B正确；

z的虚部是，故CD错误.

故选：B.

4．【答案】C

【详解】设，

则，

因为，即，

则，解得，所以.

故选：C.

5．【答案】B

【详解】当杯子盛满水时，该杯子中水的高度为cm，则杯子的容积为，可得，

所以该杯子的高度为cm.

故选：B

6．【答案】A

【详解】由，得①，

由