江西省分宜中学2025届高三下学期开学考试数学试题[含答案].docx

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江西省分宜中学2025届高三下学期开学考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合，，则（????）

A． B．

C． D．

2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=（???）

A． B．

C． D．2

3．在的展开式中，的系数为（???）

A． B． C．40 D．80

4．已知向量与的夹角为，若在方向上的投影向量为，则（????）

A．3 B． C． D．

5．从中任取个不同的数，事件“取到的个数之和为偶数”，事件“取到两个数均为偶数”，则（????）

A． B． C． D．

6．已知角的终边经过点，将的终边逆时针旋转得到角，若，则（????）

A． B． C． D．3

7．已知椭圆的左，右焦点分别为，点在该椭圆上，若满足为直角三角形的点共有8个，则该椭圆离心率的取值范围是（????）

A． B． C． D．

8．设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围为

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，则（????）

A．

B．取中点，直线的斜率与直线的斜率之积为

C．以为直径的圆与轴相切

D．若，，则

10．已知数列满足，，则（????）

A．

B．是等差数列

C．一定是等比数列

D．数列的前99项和为

11．《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体.如图，现有一高为2的“刍童”，其中，则（????）

A．该“刍童”的所有侧棱的延长线交于一点

B．该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为

C．该“刍童”外接球的表面积为

D．该“刍童”外接球表面上的点到平面的距离的最大值为

三、填空题（本大题共3小题）

12．一个打印机有喷墨头和扫描器两个独立的组件，喷墨头发生故障的概率是，扫描器发生故障的概率是，则这两个组件都不发生故障的概率是.

13．棱长为2的正方体中，是棱上的动点，是棱的中点，当直线与所成角最小时，的面积为．

14．已知椭圆，左、右焦点分别为，离心率为，过作直线l交椭圆于A，B两点（A在x轴上方），满足，设点A关于x轴的对称点为，若的外接圆半径，则的最小值为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．已知函数．

(1)当时，求的单调性；

(2)若函数在处取得极小值，求实数的取值范围．

16．已知锐角的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．

(1)求A的值．

(2)若，求周长的取值范围．

17．空间中，我们将至少两条坐标轴不垂直的坐标系称为“空间斜坐标系”．类比空间直角坐标系，分别为“空间斜坐标系”中三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作．如图，在平行六面体中，，，，．以为基底建立“空间斜坐标系”．

(1)若点在平面内，且平面，求的斜坐标；

(2)若的斜坐标为，求平面与平面的夹角的余弦值．

18．椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆：相似.

(1)求椭圆的离心率；

(2)若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左?右顶点，的一点.

①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；

②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值.

19．设数列，其中，，若同时满足①或；②对于任意，都存在使得（且两两不相等），则称数列为数列．

(1)当，时，求满足条件的数列的个数；

(2)记，若．

（ⅰ）证明：；

（ⅱ）在的条件下，求的概率．

参考答案

1．【答案】C

【详解】依题意，，所以.

故选：C

2．【答案】C

【详解】解：由题意可得，所以，

所以.

故选：C

3．【答案】B

【详解】由题得的展开式的通项为

令，则,所以的系数为

故选：B

4．【答案】A

【详解】由向量与的夹角为，得，

由在方向上的投影向量为，得，则，

整理得，所以.

故选：A

5．【答案】B

【分析】先求得和的值，然后利用条件概率计算公式，计算出所求的概率.

【详解】依题意,,故.故选B.

6．【答案】D

【详解】因为角的终边经过点，

所以，

所以，解得：.

故选：D

7．【答案】A

【详解】如图：

因为使为直角三角形的点有8个，所以在中，必有，即，

所以，即，可得.

又椭圆的离心率，所以.

故选：A

8．【答案】B

【详解】令g(x)=f(x)?x2，

则，函数是奇函数，

且，在上，，函数单调递减，

由题意可得g(x)在R递减，