量范数与矩阵范数.pptVIP

第二章线性方程组的敏度分析向量范数与矩阵范数线性方程组的敏度分析2.1向量范数与矩阵范数12.1.1向量范数定义2.1.1一个从Rn到R的非负函数‖·‖叫做Rn上的向量范数。如果它满足：（1）正定性：对有而且（2）齐次性：对有（3）三角不等式：对有注：性质（2）（3）可以合并为：对和其中p=1,2,∞是最常用的.即分别称为1-范数、2-范数和∞-范数（或一致范数）。很显然，单位向量的p-范数都等于1。p-范数(又称为H?lder范数)的三种常用p-范数。解：例2若x,y是线性相关且证明：既然x,y是线性相关且则有则x,y的夹角为0。故于是例1试求向量于是其中ek是单位向量.而又因例3向量范数是定义在Rn上的连续实函数.证明由范数的定义性质可知:定理1设和是定义在Rn上的两个范数,则存在正数C1和C2,使对(即任两范数都等价.)证明:令单位球面集合都是定义在Rn上的连续函数.故在有界闭集合S上必取得最小值C1和最小值C2,即对一切非0向量x有即证毕由于,向量范数p-范数的等价关系:则01的充分必要条件是02证明:由定理1知:存在正数C1和C2使03必要性.设对04当kK时,有05从而06充分性.设对07当kK时,有08从而09都有10定理2设2.1.2矩阵范数定义2非负函数叫做上的矩阵范数,如果(1)正定性:对有且(2)齐次性:对和有(3)三角不等式:对有(4)相容性:对有事实上,是一个n2的线性空间.这是因为,如果令则都可表示为因此:(1)任意两个矩阵范数都是等价的;(2)矩阵序列的范数收敛等价于其元素收敛.即当则称矩阵范数和向量范数是相容的。定义3若矩阵范数和向量范数满足定理3设‖‖是Rn上的一个向量范数。则非负函数是定义在Rn×n上的一个矩阵范数。由该定义给出的矩阵范数也称为从属于向量范数的矩阵范数，也称为由向量范数诱导出的算子范数。显然，单位矩阵的算子范数等于1。矩阵的p-范数即是由向量p-范数诱导出的算子范数：01矩阵1-范数亦称为列范数02矩阵∞-范数亦称为行范数03矩阵2-范数亦称为谱范数04例2计算下列矩阵的三种p范数05解定理4矩阵的p范数有如下计算公式：为A的谱半径。这里定义4设则称表示A的谱集（即A的特征值全体）定理6设则有（1）对Cn×n上的任意矩阵范数，有（2）对给定的ε0,存在Cn×n上一个算子范数,使得定理7设则定理8设是上的一个矩阵范数,且假定满足则I-A可逆,且有010203040506设x满足非奇异线性方程组x+δx满足线性扰动方程组其中,δA称为矩阵A的扰动,δb称为向量b的扰动.δA,δb和δx的关系是怎样的?δA和δb大小对δx的影响是怎样的?决定这种影响的原因是什么?在以下的讨论中,假定A和A+δA是非奇异的.即原方程组和扰动方程组的解x和x+δx都是唯一存在的.问题提出:2.2线性方程组的敏度分析δA,δb和δx的关系是怎样的?δA和δb大小对δx的影响是怎样的?1扰动方程组可写成2代入3得4整理,得5两边取范数得621已得出两边除以大小直接影响解的相对误差问题2:决定这种影响的原因是什么?定理2.2.1设‖.‖是Rn×n上的一个满足条件‖I‖=1的矩阵范数.并假设A∈Rn×n非奇异,b∈Rn非零;再假定δA∈Rn×n满足‖A-1‖‖δA‖1.若x和x+δx分别是线性方程组和的解,则其中当较小时,有,从而有定义1称数为线性方程组的条件数.01由定理1知，条件数在一定程度上刻划了扰动方程组解的影响程度。当条件数很大时，就说方程组是病态的；反之，称方程组是良态的。条件数是用矩阵范数定义的。使用不同的范数，对应的条件数的大小可能有所区别，但条件数“大”或“小”的本质是不会变的。常用的条件数有：02显然03