第04讲 三角形中的中位线（知识解读+题型专练）（解析版）.docx

第04讲三角形中的中位线和反证法

【题型1与三角形中位线有关的求解问题】

【题型2三角形中位线与三角形面积问题】

【题型3与三角形中位线有关的证明】

【题型4三角形中位线的实际应用】

【题型5反证法证明中假设】

【题型6用反证法证明命题】

知识点1：三角形的中位线

三角形中位线：在△ABC中，D，E分别是AC，AC的中点，连接DE.像DE这样，

连接三角形_两边中点的线段叫做三角形的中位线.B

中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。

【题型1与三角形中位线有关的求解问题】

【典例1】（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，△ABC中，∠BAD=∠CAD，BE=CE，AD⊥BD，DE=32，AB=4，则AC的值为（

A．6 B．132 C．7 D．

【答案】C

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，延长BD交AC于F，可证得△ABD≌△AFD，得到AF=AB=4，可证得DE是△BCF的中位线，从而得出CF的值，进一步可得出结果．

【详解】解：如图，延长BD交AC于F，

∵AD⊥BD，

∴∠ADB=∠ADF=90°，

在△ABD和△AFD中，

∠BAD=∠FADAD=AD

∴△ABD≌△AFDASA

∴BD=DF，AF=AB=4，

∵BE=CE，

∴DE是△BCF的中位线，

∴CF=2DE=3，

∴AC=AF+CF=4+3=7，

故选：C．

【变式1-1】（24-25九年级上·云南文山·期末）如图，DE是△ABC的中位线，若△ABC的周长为14，则△ADE的周长为．

??

【答案】7

【分析】本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．

利用三角形中位线定理得△ADE的周长为△ABC的周长的一半，即可求解．

【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，

∴DE=1

∴△ADE的周长为AD+DE+AE=1

故答案为：7．

【变式1-2】（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，DE是△ABC的中位线，∠ACB的平分线交DE于点F，连接AF并延长交BC于G，若AC=12，DE=9则BG的长为（???）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】A

【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，根据中位线性质求出DE∥BC，EC=12AC=6，根据等腰三角形的性质与判定求出EF=EC=6

【详解】解：∵DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，EC=1

∵CF是∠ACB的平分线，

∴∠GCF=∠ACF，

∵DE∥BC，

∴∠GCF=∠EFC，

∴∠ACF=∠EFC，

∴EF=EC=1

∴DF=DE-EF=9-6=3，

∴BG=2DF=6，

故选：A．

【变式1-3】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在周长为2的三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的周长是．

【答案】1

【分析】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理得到EF=1

【详解】解：∵点D，E，

∴EF=

∵△ABC是周长为2的三角形，

∴AB+AC+BC=2，

∴△DEF的周长=EF+DE+DF=1

故答案为1．

【题型2三角形中位线与三角形面积问题】

【典例2】（21-22七年级下·江苏宿迁·期中）如图，已知D、E分别是△ABC的边BC、AC的中点，AG是△ABE的中线，连接BE、AD、GD，若△ABC的面积为40，则阴影部分△ADG的面积为（????）

A．10 B．5 C．8 D．4

【答案】B

【分析】连接DE，如图，先判断DG为△BCE的中位线，则DG∥AC，根据平行线之间的距离和三角形面积公式得到S△ADG=S△EDG，然后利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，再根据三角形的面积公式进行求解即可．

【详解】解：连接DE，如图，

∵D为BC的中点，G为BE的中点，

∴DG为△BCE的中位线，

∴DG∥AC，

∴S△ADG=S△EDG，

∵E点为AC的中点，

∴S△BCE=12S△ABC=12

∵D点为BC的中点，

∴S△BDE=12S△EBC=12

∵G点为BE的中点，

∴S△EDG=12S△BDE=12

故选：B．

【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S=12×底×

【变式2-1】（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，△ABC的面积是12，点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，则△AFG的面积是

【答案】4.5/92/

【分析】先根据等底同高可得S△AEF=1.5，S△AEG=1.5，S△BCE=6

【详解】解：∵△ABC的面积是12，点D