2023-2024学年上海市浦东新区三林中学高二（下）期中数学试卷 （含解析）.docxVIP

2023-2024学年上海市浦东新区三林中学高二（下）期中数学试卷

一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1．已知函数，则（2）．

2．已知等差数列满足，则．

3．函数的导函数为．

4．若，则．

5．2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲、乙、丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有种．

6．曲线在点，处的切线方程为．

7．某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量（千克）与销售价格（元千克）满足关系式，，若该商品的成本为3元千克，则当销售价格为元千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．

8．记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有种．

9．正项等比数列中，与是的两个极值点，则．

10．已知函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围为．

11．设函数，，为常数）在，上严格递减，在，和，上严格递增，且的部分图像如图所示，则．

12．函数在区间，上存在零点，则的最小值为．

二.选择题（本大题共4题，满分20分）

13．已知函数在上的导函数为，则“”是“是的极值点”的条件．

A．充要 B．既不充分也不必要

C．充分不必要 D．必要不充分

14．等差数列的前项和，2，当首项和公差变化时，若是一个定值，则下列各数中为定值的是

A． B． C． D．

15．已知函数为常数），在区间，上有最大值20，那么此函数在区间，上的最小值为

A． B． C． D．

16．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法数错误的是

A．排成前后两排，前排3人，后排4人，共有种方法

B．全体排成一排，男生互不相邻，共有种方法

C．全体排成一排，女生必须站在一起，共有种方法

D．全体排成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边，共有种方法

三.解答题（本大题共有5题，满分76分）

17．已知数列满足：．

（1）求证：是等比数列；

（2）求数列的通项公式．

18．已知函数为常数），曲线在点，处的切线平行于直线．

（1）求的值；

（2）求函数的极值．

19．已知等差数列的前项和为，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）若等比数列的公比为，且满足，求数列的前项和．

20．（16分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点，均在函数的图像上．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数．

21．（17分）已知函数，其中实数，，．

（1）时，求函数的极值点；

（2）时，在，上恒成立，求的取值范围；

（3）证明：，且时，经过点作曲线的切线，则切线有三条．

参考答案

一．选择题（共4小题）

题号

13

14

15

16

答案

D

C

B

B

一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）

1．已知函数，则（2）9．

解：因为，

所以，（2）．

故答案为：9．

2．已知等差数列满足，则．

解：由是等差数列，得，又，

所以．

故答案为：

3．函数的导函数为．

解：因为，由复合函数的求导法则可得．

故答案为：．

4．若，则1．

解：，

则，

故．

故答案为：1．

5．2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲、乙、丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有64种．

解：由于一共有四项运动，故甲、乙、丙各自有4种选择，

而他们的选择互相之间没有任何限制条件，

所以总共的选法数是．

故答案为：64．

6．曲线在点，处的切线方程为．

解：由，知．

所以，，故所求切线是经过点且斜率为2的直线，即．

故答案为：．

7．某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量（千克）与销售价格（元千克）满足关系式，，若该商品的成本为3元千克，则当销售价格为4元千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．

解：由题意可得，商场每日销售该商品所获得的利润为，，

求导可得，

令，解得或（舍去），

当时，，当时，，

故函数在上单调递增，在上单调递减，

当时，函数取得最大值（4），

故当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润，最大值为42元．

故答案为：4．

8．记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有480种．

解：先将4名志愿者排列好，

有种排法，

再将两个老人进行插空有种排法，

所以满足题意的不同的排法共有种．

故答案为：480．

9．正项等比数列中，与是的两个极值点，则2．

解