2023-2024学年上海市普陀区甘泉外国语中学高一（下）期中数学试卷 （含解析）.docxVIP

2023-2024学年上海市普陀区甘泉外国语中学高一（下）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。

1．已知，是第四象限角，则的值是．

2．函数的最小正周期．

3．函数的定义域为．

4．已知，，则．

5．若，则．

6．已知函数，若（1），则．

7．函数的图象在点，（1）处的切线方程为．

8．已知函数，，图像如图，则函数的解析式为．

9．函数，的值域为．

10．关于的方程在上有两个解，则实数的取值范围为．

11．若函数在，上恰有2个零点，则实数的取值范围．

12．设（其中，若函数既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是．

二、选择题（本大题共有4题，满分16分，13-14每题4分，15-16每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位留，将代表正确选项的小方格涂黑。

13．下列函数中，周期为1的奇函数是

A． B．

C． D．

14．在中，如果满足，则一定是

A．直角三角形 B．等边三角形

C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形

15．已知，若存在，使得，则

A．有最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值

C．无最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值

16．定义方程的实数根为函数的“新驻点”，若函数，，，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小关系为

A． B． C． D．

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。

17．如图所示，在平面直角坐标系中，以轴正半轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于、两点，已知、的横坐标分别为．

（1）求的值；

（2）求的值．

18．已知函数．

（1）若在时取得极值，求的值；

（2）求的单调区间．

19．某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地进行改造．如图所示，平行四边形区域为停车场，其余部分建成绿地，点在围墙弧上，点和点分别在道路和道路上，且米，，设．

（1）当时，求停车场的面积（精确到0.1平方米）；

（2）写出停车场面积关于的函数关系式，并求当为何值时，停车场面积取得最大值．

20．（18分）已知函数．

（1）求函数的单调减区间；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（3）若函数在上恰有3个零点，求的取值范围．

21．（18分）若函数满足且，则称函数为“函数”．

（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；

（2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间；

（3）在（2）条件下，当，关于的方程为常数）有解，记该方程所有解的和为，求．

参考答案

一．选择题（共4小题）

题号

13

14

15

16

答案

D

C

D

C

一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1～6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。

1．已知，是第四象限角，则的值是．

解：因为，是第四象限角，

则．

故答案为：．

2．函数的最小正周期．

解：函数的最小正周期是，

故答案为：．

3．函数的定义域为．

【解答】解：函数的有意义，必有，所以函数的定义域．

故答案为：．

4．已知，，则．

解：，，，，

，，

．

故答案为：．

5．若，则．

解：由，

得．

故答案为：．

6．已知函数，若（1），则．

解：根据题意，（1）．

故答案为：．

7．函数的图象在点，（1）处的切线方程为．

解：由已知得：，

（1），（1）．

切线方程为：，

即．

故答案为：．

8．已知函数，，图像如图，则函数的解析式为．

解：由函数的图像知，，，

所以，

又，，解得，，

又因为，所以，

所以函数．

故答案为：．

9．函数，的值域为，．

解：，

令，，，，

则，

可得，．

故答案为：，．

10．关于的方程在上有两个解，则实数的取值范围为，．

解：化简为，

令，

因为，，，

故在，上单调递增，在，上单调递减，

，，，，

所以在上有两个解，即与的图象有两个交点，即，则，

所以实数的取值范围为：，．

故答案为：，．

11．若函数在，上恰有2个零点，则实数的取值范围．

解：令，则，

令，

则函数，的图象在区间，上有两个交点，

，

当时，，当时，，

所以函数在，上单调递减，在，上单调递增，

所以（2），

而，

如图，作出函数，的图象，

由图可知时两函数图象有两个交点，原函数有两个零点．

故答案为：．

12．设（其中，若函数既没有最大值，也没有最小值，则的取值范围是．

解：（其中既没有最大值，也没有最小值，

且，可得，或且，可得，

结合正弦函数的性质，易知其它区间不符合．

故答