2023-2024学年上海市普陀区长征中学高二（下）期中数学试卷 （含解析）.docxVIP

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2023-2024学年上海市普陀区长征中学高二（下）期中数学试卷

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）

1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为．

2．已知两点，，以为直径的圆的标准方程为．

3．已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是．

4．直线与直线平行，则．

5．两条直线，夹角的大小是．（结果用反余弦函数值表示）

6．若直线和直线垂直，则．

7．在双曲线中，的取值范围是．

8．双曲线的焦点坐标是．

9．求经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程为．

10．已知两条直线；，当两直线夹角在变动时，则的取值范围为．

11．若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最大值为．

12．已知，，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，当取到最小值时，点坐标为．

二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）

13．方程表示圆的充要条件是

A． B．或 C． D．

14．圆的圆心到直线的距离为

A． B． C． D．2

15．“的二项展开式中的系数为80”是“或”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

16．已知，分别是椭圆的左，右焦点，，是椭圆上两点，且，，则椭圆的离心率为

A． B． C． D．

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）

17．已知两条直线，，求分别满足下列条件时的值：

（1）与相交；

（2）与重合．

18．在△中，，，．

（1）建立适当的直角坐标系，求边所在直线的方程；

（2）求△的重心到边所在直线的距离．

19．双曲线的左、右焦点分别为、，直线过且与双曲线交于、两点．

（1）若的倾斜角为，△是等边三角形，求的值；

（2）设，若直线的斜率等于2，求、两点的横坐标之和．

20．（18分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，过点且与垂直的直线交轴负半轴于点，且．

（1）求证：△是等边三角形；

（2）若过、、三点的圆恰好与直线相切，求此时椭圆的方程；

（3）若，直线过且与椭圆交于，两点，，且，求的斜率．

21．（18分）已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，圆与直线相交于、两点，与线段相交于点，是线段上靠近焦点的四等分点，且，如图所示．

（1）求证：；

（2）求抛物线的方程；

（3）过点作直线交抛物线于、两点，点，记直线、的斜率分别为，，求的值．

参考答案

一．选择题（共4小题）

题号

13

14

15

16

答案

B

B

C

C

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）

1．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距是6，椭圆上的一点到两个焦点的距离之和等于10，则该椭圆的标准方程为．

解：由题意可知：，，即，，

则，且焦点在轴上，

所以该椭圆的标准方程为．

故答案为：．

2．已知两点，，以为直径的圆的标准方程为．

解：圆的直径为线段，圆心坐标为，

半径．

圆的标准方程为．

故答案为：．

3．已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是．

解：联立两圆方程，

解得或，即可得这点的坐标为．

故答案为：．

4．直线与直线平行，则．

解：当时，即时，不满足题意；

当时，即时，不满足题意；

当且时，两直线斜率均存在，需满足，

解得或．

又当时，与重合，不合题意；

当时，与平行，满足题意．

故答案为：．

5．两条直线，夹角的大小是．（结果用反余弦函数值表示）

解：设直线与直线的夹角为，

由题意可知：直线的斜率，其方向向量可以为，

直线的斜率，其方向向量可以为，

所以，

所以直线与直线的夹角为．

故答案为：．

6．若直线和直线垂直，则10．

解：直线的斜率为，

直线的斜率为，

由两直线垂直可得，解得．

故答案为：10．

7．在双曲线中，的取值范围是，，．

解：由双曲线，可得：，

所以，则，故的取值范围是，，．

故答案为：，，．

8．双曲线的焦点坐标是．

解：根据双曲线方程可得：，

则，

因为焦点在轴上，

所以双曲线的焦点坐标是．

故答案为：．

9．求经过两条直线和的交点，并且垂直于直线的直线的方程为．

解：联立，解得交点．

设垂直于直线的直线的方程为，

把代入上式可得：．

要求的直线方程为：．

故答案为：．

10．已知两条直线；，当两直线夹角在变动时，则的取值范围为，，．

解：直线的倾斜角为，

令直线的倾斜角为，则有

过原点