2025版新教材高中数学第三章函数的概念与性质1.2第2课时函数的表示法二学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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第2课时函数的表示法（二）

互动探究·关键实力

探究点一分段函数求值

自测自评

1.若f(x)=3x,x≥4,

A.9B.53C.81D.243

答案：D

解析：因为所以f(x)=3x,x≥4,2x-1,x4,所以

2.设f(x)=∣x-1∣-2,∣x∣≤1,11+

A.12B.413C.-

答案：B

解析：由题意得，f(1

∴f(f(1

3.已知函数f(x)=2x-1,x≤2,f(x-2)+2,x2,则

A.12B.92C.5

答案：B

解析：由题意得，f(14)=2×

∴f(1

4.已知函数f(x)=3x+1,x2,x2+ax,x≥2,若f(f(2

答案：-5;-6

解析：由题意得，f(2

则f(f(2

解得a=-5.所以f(2)=4-5×2=-6.

5.(★)已知实数a≠0，函数f(x)=2x+a,x1,-x-2a,x≥1.若f(1-a)=f(1+a)，则

答案：-

解析：当a＞0时，1-a1，1+a1，由f(1-a)=f(1+a)，可得2(1-a)+a=-(1+a)-2a，解得a=-32，

当a＜0时，1-a1，1+a1，由f(1-a)=f(1+a)，可得-(1-a)-2a=2(1+a)+a，解得a=-34.综上，

解题感悟

1.求分段函数的函数值的方法：

先确定要求的函数值所对应的自变量的值属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值.当出现f(f(x

2.已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应留意检验函数解析式的适用范围，也可行推断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.

探究点二分段函数的图象及应用

精讲精练

例已知函数f(x)=-x2+2，g(x)=x，令φ(x)=min{f(x),g(x)}

（1）分别用图象法和解析法表示φ(x)；

（2）求函数φ(x)的定义域和值域.

答案：（1）图象法：在同一平面直角坐标系中画出函数f(x),g(x)的图象，如图①.

图①

由图①中函数的取值状况，结合函数φ(x)的定义，可得函数φ(x)的图象如图②.

图②

解析法：令-x2+2=x，得x=-2

结合图②，得出φ(x)的解析式为φ(x)=

（2）由图②知，φ(x)的定义域为R，φ(1)=1，

∴φ(x)的值域为（-∞,1].

解题感悟

分段函数图象的画法

（1）分段函数的图象应分段来作，要特殊留意各段的自变量在区间端点处的取值状况.

（2）作含有肯定值的函数的图象时，首先应依据肯定值的意义去掉肯定值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象.

迁移应用

1.已知函数f(x)=

（1）画出函数f(x)的图象；

（2）求f(a2+1)(a∈

（3）当f(x)≥2时，求x的取值范围.

答案：（1）f(x)的图象如图所示，

（2）f(

=-

=f(-6)=13.

（3）当x＞0时，令3-x

解得0＜x≤1；

当x=0时，2≥2，符合题意；

当x＜0时，令1-2x≥2，

解得x≤-1

综上，当f(x)≥2时，x的取值范围为

（-∞,-1

探究点三分段函数的实际应用

精讲精练

例某市出租车的计价标准：4?km以内（包含4?km）10元，超过4?km且不超过18?km的部分1.2元/km

（1）假如不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；

（2）假如某人乘车行驶了20?km

答案：（1）设行车里程为xkm，车费为y元，由题意知，当0＜x≤4时，y=10；

当4＜x≤18时，y=10+1.2(x-4)=1.2x+5.2；

当x＞18时，y=10+1.2×14+1.8(x-18)=1.8x-5.6.

所以，所求的函数关系式为

y=

（2）当x=20时，y=1.8×20-5.6=30.4.

所以他要付30.4元的车费.

解题感悟

求分段函数的解析式时应留意“先分后合”，依据不同定义域写出相应的函数解析式，最终合并，留意分段函数是一个函数，而不是几个函数.

迁移应用

1.如图，动点P从单位正方形ABCD的顶点A起先，顺次经B，C，D绕边界一周，当x表示点P运动的路程，y表示PA的长度时，求y=f(x)的解析式，并求f(

答案：当点P在AB上运动时，y=x；

当点P在BC上运动时，y=1+(x-1

当点P在CD上运动时，y=1+(3-x

当点P在DA上运动时，y=4-x，

∴y=

∴f(5

评价检测·素养提升

1.已知f(x)=∣2-x∣,x≤0,-2x+1,x0,则

A.-2B.2C.5D.-5

答案：D

2.已知函数f(x)=ex,x≥0,

A.-eB.1C.e

答