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南京工业大学线性代数试题(A)卷
试题标准答案
--2010学年第一学期使用班级江浦08级各专业
一、填空题(每题3分,共15分)
(1)(2)(3)-1(4)3(5)0,
二、选择题(每题3分,共15分)
C(2)A(3)C(4)B(5)A
三、(12分)解:
=―――――――――――――――5分
=――――――――――――――――――10分
=―――――――――――――――――――――――――12分
四(12分)解:由矩阵方程可得
即
(1)―――――――――6分
又,可逆,方程(1)两边左乘可得――――8分
――――――――――12分
五(12分)解:以为列构成矩阵,对施行初等行变换将其化为行最简形。
=
――――――――――――――――――――――――――――――――――――6分
故―――――――――――――――――――――――――――8分
其一个极大线性无关组为且――――――12分
六、(13分)解:系数行列式
由克莱姆法则得,当且时,方程组有唯一解。――――――—4分
当时,对方程组的增广矩阵进行初等行变换
,,方程组无解―――8分
当时,,原方程组的通解
,其中为任意常数。―――――――――――――13分
七(16分)解:二次型的矩阵为―――――――――――――4分
矩阵的特征方程为
故矩阵的特征值为,当解方程组即
,解之得;――――――10分
当时,解方程组,解之得。
令,作即为正交变换,其标准型为。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――13分
3)因为矩阵的特征值都是正的,故该二次型为正定二次型.―――――――――16分
八、证明:由可得,从而
。――――――――――――――2分
另一方面,
―――――4分
所以
。――――――――――――――――――5分
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