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第七节空间向量在立体几何中的应用
【考纲下载】
1．理解直线的方向向量与平面的法向量．
2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．
3．能用向量方法证明有关直线和平面关系的一些定理(包括三垂线定理)．
4．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解
向量方法在研究立体几何问题中的应用．
1．两个重要向量
(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数
个．
(2)平面的法向量
ll
直线⊥平面，取直线的方向向量，则这个向量叫做平面的法向量．显然一个
平面的法向量有无数个，它们是共线向量．
2．空间位置关系的向量表示
位置关系向量表示
llllnnnλn
直线，的方向向量∥∥⇔＝
12121212
nnllnnnn
分别为，.⊥⊥⇔·＝0
12121212
llnmmn
直线的方向向量为∥⊥⇔·＝0
n，平面的法向量为
lnmnλm
⊥∥⇔＝
m
ββnmnλm
平面、的法向量∥∥⇔＝
nmβnmnm
分别为，.⊥⊥⇔·＝0
3．两条异面直线所成角的求法
ab
|·|
ababθφθ
设两条异面直线，的方向向量为，，其夹角为，则cos＝|cos|＝|a||b|
φab
(其中为异面直线，所成的角)．
4．直线和平面所成的角的求法
lenl
如图所示，设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面
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