新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第03讲 相等关系与不等关系（解析版）.doc

相等关系与不等关系

1．实数大小与运算性质之间的关系

a－b0?ab；a－b＝0?a＝b；a－b0?ab．

2．等式的性质

(1)对称性：若a＝b，则b＝a．

(2)传递性：若a＝b，b＝c，则a＝c．

(3)可加性：若a＝b，则a＋c＝b＋c．

(4)可乘性：若a＝b，则ac＝bc；若a＝b，c＝d，则ac＝bd．

3.不等式的性质

性质

性质内容

注意

对称性

ab?ba；ab?ba

可逆

传递性

ab，bc?ac；ab，bc?ac

同向

可加性

ab?a＋cb＋c

可逆

可乘性

ab，c0?acbc；

ab，c0?acbc

c的符号

同向可加性

ab，cd?a＋cb＋d

同向

同向同正

可乘性

ab0，cd0?acbd

同向，

同正

可乘方性

ab0，n∈N*?anbn

同正

可开方性

ab0，n∈N，n≥2?eq\r(n,a)eq\r(n,b)

同正

考点1比较大小

[名师点睛]

比较两个数(式)大小的方法

[典例]

1.（2022·湖南·高三周练）若，比较与的大小．

【解】-=,

因为，故，，，

故，即.

2.（2021·江苏·高三专题复习）设x，y为正数，比较与的大小.

【解】因为为整数，则且，

由，当且仅当时，等号成立，

所以，所以.

[举一反三]

1．（2022·重庆·模拟预测）若，则（???????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】∵，，∴

又，∴∴

，又∴

综上：故选：A

2.（2022·重庆市育才中学模拟预测）（多选）若a＞b＞0＞c，则(???????)

A． B． C． D．

【答案】ABD

【解析】

A：，∵，，

，，故A正确；

B：，∵，∴，

，故B正确；

C：时，在单调递减，∵，故C错误；

D：∵a＞b＞0＞c，∴－c＞0，∴，∵a≠b，故等号取不到，故，故D正确.

故选：ABD.

3.比较与的大小．

【解】,

.

4．已知：、，且，比较的大小.

【解】∵、，∴，

作商：????????（*）

(1)若ab0，则，a-b0，，此时成立；

(2)若ba0，则，a-b0，，此时成立.

综上，总成立.

5．（2021·全国·高三专题练习（文））已知，比较与的大小

【解】

,

同理，,

从而，

即.

考点2不等式的性质

[名师点睛]

(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断需要利用不等式的性质．

(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．

[典例](1)已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是()

A．若eq\f(a,b)＞1，则a＞b

B．若eq\f(a,c)＞eq\f(b,c)，则a＞b

C．若a3＞b3且ab＜0，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)

D．若a2＞b2且ab＞0，则eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)

(2)(多选)下列命题为真命题的是()

A．若ab0，则ac2bc2

B．若ab0，则a2abb2

C．若ab0且c0，则eq\f(c,a2)eq\f(c,b2)

D．若ab且eq\f(1,a)eq\f(1,b)，则ab0

【解析】(1)A中，只有b＞0时正确，故A错误；

B中，当c＜0时，a＜b，故B错误；

C中，若a3＞b3，ab＜0，则a＞0＞b，所以eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，故C正确；

D中，当a＜0，b＜0时，eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)不成立，故D错误．

综上所述，故选C.

(2)当c＝0时，不等式不成立，所以A命题是假命题；eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab，,a0))?a2ab，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ab，,b0))?abb2，所以a2abb2，所以B命题是真命题；ab0?a2b20?0eq\f(1,a2)eq\f(1,b2)，因为c0，所以eq\f(c,a2)eq\f(c,b2)，所以C命题是真命题；eq\f(1,a)eq\f(1,b)?eq\f(1,a)－eq\f(1,b)0?eq\f(b－a,ab)0，因为ab，所以b－a0，ab0，所以D命题是真命题，故选BCD.

【答案】(1)C(2)BCD

[举一反三]

1．（2021·辽宁·东北育才学校一模）若a，b，c∈R，ab，则下列不等式恒成立的是（???????）

A． B．a2b2

C． D．a|c|b|c|

【答案】C

【解析】当a=1，b=-2时，满足ab，但，a2b2，排除A，B；

因0，ab，由不等式性质得，C正确；