2025届苏锡常镇一模.docx

2025届苏锡常镇一模

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知为虚数单位，复数满足，则

A.B.1C.D.

2.“”是“”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则

A.1B.C.D.

4.已知为等比数列的前项和，若，则

A.5B.9C.-9D.-5

5.已知，则

A.B.C.D.

6.已知一圆柱内接于半径为1的球，当该圆柱的体积最大时，其高为

A.B.C.D.

7.在空间中，过点A作平面的垂线，记垂足.设两个不同平面，对任意一点，恒有成立，则

A.B.的夹角为C.的夹角为D.

8.我市某校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂用餐.经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有10%的学生第二天会到楼下食堂用午餐；而当天在楼下食堂用午餐的学生中，有15%的学生第二天会到楼上食堂用午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为

A.700B.800C.900D.1000

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.某中学举行数学史知识竞赛，其中6个小组的比赛成绩分别为：70，85，89，75，96，89，则这组数据的

A.极差为26B.中位数大于平均数

C.方差为472D.下四分位数为75

10.已知函数，其导函数为，则

A.直线是曲线的切线

B.有三个零点

C.

D.若在区间上有最大值，则的取值范围为

11.已知正方体的棱长为1，点满足，其中

，则

A.当时，平面

B.当时，异面直线与所成的角为

C.当时，

D.当时，线段的长度最小值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.请写出一个同时满足以下三个条件的函数.

①，②，③不是常数函数.

13.已知抛物线的焦点分别为，一条平行于轴的直线分别与交于两点.若，则四边形的周长为.

14.在一个不透明的袋子中装有4个形状大小相同、颜色互不相同的小球.某人先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），第一次摸取后记下摸到的小球颜色，再将摸到的小球放回袋中；第二次摸取后，也记下摸到的小球颜色.则“两次记下的小球颜色能凑齐4种颜色，且恰有一种颜色两次都被记下”的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）

在中，角所对的边分别为，且.

（1）求；

（2）若为的中点，求.

16.（15分）

在①；②；③这三个条件中，请选择一个合适的条件，补充在下题横线上（只要写序号），并解答该题.

已知数列的各项均为正数，其前项和为，且对任意正整数，有.

（1）求的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，证明：.

17.如图，在四面体中，，点为棱的中点，点为棱上的动点.

（1）求证：平面平面；

（2）已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积.

18.（17分）

已知双曲线的右顶点到其渐近线的距离为.点在的渐近线上，过的直线与交于两点，直线分别与轴交于两点.

（1）求的方程；

（2）若的面积为，求的方程；

（3）证明：线段的中点为顶点.

19.（17分）

我们把称为区间的长度.若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间.已知函数

.

（1）若，任取的一个自映射区间，求其区间的长度的概率；

（2）若存在自映射区间，

①求的取值范围；

②求证：，且的长度.