新高考数学一轮复习考点探究与题型突破训练第22讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数（解析版）.doc

第22讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念

(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．

分类：按旋转方向，角可以分成三类：正角、负角和零角．

(2)象限角

在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．

(3)终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

2．弧度制的相关概念

(1)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．

(2)弧度制：

①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．

②记法：弧度单位用符号rad表示，读作弧度．

如图，在单位圆O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))的长等于1，∠AOB就是1弧度的角．

(3)角度制和弧度制的互化：180°＝πrad，1°＝eq\f(π,180)rad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°．

(4)扇形的弧长公式：l＝α·r，扇形的面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)α·r2.其中r是半径，α(0＜α＜2π)为弧所对圆心角．

3．三角函数的概念

三角函数

正弦

余弦

正切

定义

设α是一个任意角，α∈R，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么

y叫做α的正弦，记作sinα

x叫做α的余弦，记作cosα

eq\f(y,x)叫做α的正切，记作tanα

考点1角的概念与表示

[名师点睛]

(1)表示区间角的三个步骤

①先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；

②再按由小到大的顺序分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α＜x＜β}，其中β－α＜360°；

③最后令起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角的集合．

(2)象限角的两种判断方法

①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；

②转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α的终边所在的象限判断已知角是第几象限角．

[典例]

1．（2022·全国·高三专题练习）下列说法中正确的是（???????）

A．第一象限角都是锐角

B．三角形的内角必是第一?二象限的

C．不相等的角终边一定不相同

D．不论是用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关

【答案】D

【解析】解：对于，第一象限的角不一定是锐角，所以错误；

对于，三角形内角的取值范围是，所以三角形内角的终边也可以在轴的非负半轴上，所以错误；

对于，不相等的角也可能终边相同，如与，所以错误；

对于，根据角的定义知，角的大小与角的两边长度大小无关，所以正确．

故选：．

2．（2022·全国·高三专题练习）与角的终边相同的角的表达式中，正确的是（???????）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】首先角度制与弧度制不能混用，所以选项AB错误；

又与的终边相同的角可以写成，

所以正确．

故选：．

3．（2022·全国·高三专题练习）角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是（???????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】∵角的终边在第一象限，

∴，，则，，

当时，此时的终边落在第一象限，

当时，此时的终边落在第二象限，

当时，此时的终边落在第三象限，

综上，角的终边不可能落在第四象限，

故选：D.

[举一反三]

1．（2022·全国·高三专题练习）若角的终边在直线上，则角的取值集合为（???????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】解：

，由图知，

角的取值集合为:

故选：D.

2．（2022·浙江·高三专题练习）若，则的终边在（???????）

A．第一、三象限 B．第一、二象限

C．第二、四象限 D．第三、四象限

【答案】A

【解析】解：因为，所以

当时，，其终边在第三象限；

当时，，其终边在第一象限.

综上，的终边在第一、三象限.

故选：A.

3．（多选）（2022·江苏·高三专题练习）下列与角的终边不相同的角是（???????）

A． B．2kπ－(k∈Z)

C．2kπ＋(k∈Z) D．(2k＋1)π＋(k∈Z)

【答案】ABD

【解析】与角的终边相同的角为，其余三个角的终边与角的终边不同．

故选：ABD.

4．（多选）（2022·全国·高三专题练习）如果角与角的终边相同，角与的终边相同，那么的可能值为（???