高三数学复习第八章立体几何第二节空间点直线平面之间的位置关系理.pptxVIP

理数

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第二节空间点、直线、平面之间位置关系

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1.平面基本性质

(1)公理1:假如一条直线上①两点

在一个平面内,那么这条直线在

此平面内.

(2)公理2:过②不在一条直线上

三点,有且只有一个平面.

(3)公理3:假如两个不重合平面有③一个

公共点,那么它们有且只

有一条过该点公共直线.

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2.空间中两直线位置关系

(1)空间中两直线位置关系

(2)异面直线所成角

(i)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间任一点O作直线a∥a,b∥b,把a

与b所成⑦锐角(或直角)

叫做异面直线a与b所成角(或夹角).

(ii)范围:⑧

.

(3)公理4:平行于⑨同一条直线

两条直线相互平行.

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(4)定理:空间中假如两个角两边分别对应平行,那么这两个角

⑩相等或互补

.

3.空间中直线与平面、平面与平面位置关系

(1)直线与平面位置关系有 相交

、 平行

、 

在平面内

三种情况.

(2)平面与平面位置关系有 平行

、 相交

两种情况.

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1.如图是正方体和四面体,P,Q,R,S分别是所在棱中点,则这四个点不

共面是 ()

答案

D

A、B、C中四个点一定共面,D中四个点不共面.

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2.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b ()

A.一定是异面直线

B.一定是相交直线

C.不可能是平行直线

D.不可能是相交直线

答案

C假设c∥b,由公理4可知,a∥b,与a,b是异面直线矛盾,故选C.

3.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则 ()

A.α内全部直线与l异面

B.α内不存在与l平行直线

C.α内存在唯一直线与l平行

D.α内直线与l都相交

答案

B假设α内存在直线m∥l,∵l⊄α,∴l∥α,与题设矛盾,故选B.

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4.两两相交三条直线最多可确定

个平面.

答案3

解析当三条直线共点且不共面时,最多可确定3个平面.

5.如图所表示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD中点,则异

面直线B1C与EF所成角大小为

.

答案60°

解析连接B1D1,D1C,因B1D1∥EF,故∠D1B1C(或其补角)为所求角,又B1D1

=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.

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考点一共点、共线、共面问题

典例1如图所表示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1

中点.求证:

(1)E、C、D1、F四点共面;

(2)CE、D1F、DA三线共点.

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证实(1)如图所表示,连接CD1、EF、A1B,

∵E、F分别是AB和AA1中点,∴FE∥A1B且EF= A1B.

∵A1D1􀱀BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形,

∴A1B∥D1C,∴FE∥D1C,

∴EF与CD1可确定一个平面,即E、C、D1、F四点共面.

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(2)由(1)知EF∥CD1,且EF= CD1,∴四边形CD1FE是梯形,∴直线CE与D1

F必相交,设交点为P,

则P∈CE⊂平面ABCD,且P∈D1F⊂平面A1ADD1,

∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.

又平面ABCD∩平面A1ADD1=AD,

∴P∈AD,∴CE、D1F、DA三线共点.

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方法技巧

1.点线共面问题证实方法:

(1)纳入平面法:先确定一个平面,再证相关点、线在此平面内;

(2)辅助平面法:先证相关点、线确定平面α,再证其余点、线确定平面β,

最终证实平面α,β重合.

2.证实三线共点问题惯用方法:先证其中两条直线交于一点,再证交点

在第三条直线上(发觉第三条直线是两对应平面交线,从而利用公理3

证实).

3.证实点共线问题方法:(1)公理法:先找出两个平面,然后证实这些点

都是这两个平面公共点,再依据公理3证实这些点都在交线上;(2)同一

法:选择其中两点确定一条直线,然后证实其余点也在该直线上.

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1-1如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与

平面α相交于点E,G,H,F,求证:E,F,G,H四点必定共线.

证实因为AB∥CD,所以AB,CD确定一个平面β.

又因为AB∩α=E,AB⊂β,所以E∈α,E∈β,即E为平面α与β一个公共点.

同理可证F,G,H均为平面α与β公共点,

因为两个平面有公共点,它们有且只有一条过公共点公共直线,所

以E,F,G,H四点必定共线.

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考点二空间两直线位置关系

典例2如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C中点