2024_2025学年高中数学第二章圆锥曲线与方程1.2第2课时椭圆方程及性质的应用学案新人教A版选修1_1.docVIP

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第2课时椭圆方程及性质的应用

导思

1.直线与椭圆的位置关系都有哪些？

2．如何推断直线与椭圆的位置关系．

1.点与椭圆的位置关系

设P(x0，y0)，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)，则点P与椭圆的位置关系如表所示：

位置关系

满意条件

P在椭圆外

eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),a2)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),b2)1

P在椭圆上

eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),a2)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),b2)＝1

P在椭圆内

eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),a2)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),b2)1

2.直线与椭圆的位置关系

推断直线和椭圆位置关系的方法

直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的位置关系的推断方法：联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消去y，得关于x的一元二次方程．

当Δ＞0时，方程有两个不同解，直线与椭圆相交；

当Δ＝0时，方程有两个相同解，直线与椭圆相切；

当Δ＜0时，方程无解，直线与椭圆相离．

3．弦长公式

设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)相交，两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长．弦长公式：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(（x1＋x2）2－4x1x2)，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到．

如何利用y1，y2表示弦长|AB|？

提示：|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(（y1＋y2）2－4y1y2).

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)若直线的斜率肯定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．(√)

提示：依据椭圆的对称性可知，直线过椭圆的中心时，弦长最大．

(2)直线eq\f(x,2)－y＝1被椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1截得的弦长为eq\r(5).(√)

提示：由eq\f(x,2)－y＝1得y＝eq\f(x,2)－1，代入eq\f(x2,4)＋y2＝1，

解得两交点坐标A(0，－1)，B(2，0).|AB|＝eq\r(（0－2）2＋（－1－0）2)＝eq\r(5).

(3)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)与点P(b，0)，过点P可作出该椭圆的一条切线．(×)

提示：因为P(b，0)在椭圆内部，过点P作不出椭圆的切线．

(4)直线y＝k(x－a)(k≠0)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的位置关系是相交．(√)

提示：直线y＝k(x－a)(k≠0)过点(a，0)且斜率存在，所以直线y＝k(x－a)与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1的位置关系是相交．

2．直线y＝x＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的位置关系是()

A．相交B．相切C．相离D．无法推断

【解析】选A.联立直线与椭圆的方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))

消去y得9x2＋10x－15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)0，所以直线与椭圆相交．

【一题多解】选A.直线过点(0，1)，而0＋eq\f(1,4)1，即点(0，1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．

3．(2024·南充高二检测)直线y＝x与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))等于()

A．2B．eq\f(4\r(5),5)C．eq\f(4,5)eq\r(10)D．eq\f(8,5)eq\r(10)

【解析】选C.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x,\f(x2,4)＋y2＝1))，

解得Aeq