2024_2025高中数学第二章基本初等函数I1.1指数与指数幂的运算4教案新人教版必修1.docVIP

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指数与指数幂的运算(2)

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思路1.碳14测年法.原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入全部活组织,先为植物汲取,再为动物汲取,只要植物和动物生存着,它们就会不断地汲取碳14在机体内保持确定的水平.而当有机体死亡后,即会停止汲取碳14,其组织内的碳14便以约5730年的半衰期起先衰变并消逝.对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年头(半衰期:经过确定的时间,变为原来的一半).引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂.

思路2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是确定的.这就是本节的主讲内容,老师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂.

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新知探究

提出问题

(1)整数指数幂的运算性质是什么？

(2)视察以下式子,并总结出规律：a＞0,

①==a2=a;

②==a4=a;

③==a3=a;

④==a5=a.

(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗？

,,,(x0,m,n∈N*,且n1).

(4)你能用方根的意义来说明(3)的式子吗？

(5)你能推广到一般的情形吗？

活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,细致视察,特殊是每题的起先和最终两步的指数之间的关系,老师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以说明,指引启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把详细推广到一般,对写正确的同学刚好表扬,其他学生激励提示.

探讨结果：(1)整数指数幂的运算性质：an=a·a·a·…·a,a0=1(a≠0);00无意义;

a-n=(a≠0);am·an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

(2)①a2是a10的5次方根；②a4是a8的2次方根；③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根.实质上①=a,②=a,③=a,④=a结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了,,,,形式上变了,本质没变.

依据4个式子的最终结果可以总结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式（分数指数幂形式）.

(3)利用(2)的规律,=5,=7,=a,=x.

(4)53的四次方根是5,75的三次方根是7,a7的五次方根是a,xm的n次方根是x.

结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的.

(5)假如a0,那么am的n次方根可表示为m=a,即a=m(a0,m,n∈N*,n1).

综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,老师板书:

规定:正数的正分数指数幂的意义是a=m(a0,m,n∈N*,n1).

提出问题

①负整数指数幂的意义是怎样规定的?

②你能得出负分数指数幂的意义吗?

③你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义?

④综合上述,如何规定分数指数幂的意义?

⑤分数指数幂的意义中,为什么规定a＞0,去掉这个规定会产生什么样的后果?

⑥既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?

活动：学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,依据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,老师在黑板上板书,学生合作沟通,以详细的实例说明a＞0的必要性,老师刚好作出评价.

探讨结果：①负整数指数幂的意义是:a-n=(a≠0),n∈N*.

②既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义.

规定:正数的负分数指数幂的意义是a==(a0,m,n∈N*,n1).

③规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.

④老师板书分数指数幂的意义.分数指数幂的意义就是:

正数的正分数指数幂的意义是a=(a0,m,n∈N*,n1),正数的负分数指数幂的意义是a==(a0,m,n∈N*,n1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义.

⑤若没有a＞0这个条件会怎样呢?

如(-1)=3-1=-1,(-1)=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了迥然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的.因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a＞0的条件,比如式子3a2=|a|,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的状况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上.

⑥规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.

有理数指数幂的运算性质:对随意的有理数r,s,均有下面的运