2024_2025学年高中数学第三章导数应用习题课_导数的综合应用课后篇巩固提升含解析北师大版选修2_2.docxVIP

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第三章DISANZHANG导数应用

习题课——导数的综合应用

课后篇巩固提升

A组

1.已知函数f(x)=ex-3,g(x)=1+lnx,若f(m)=g(n),则n-m的最小值为()

A.-ln2 B.ln2 C.2 D.-2

解析令t=f(m)=g(n),则em-3=t,1+lnn=t,

∴m=3+lnt,n=et-1,即n-m=et-1-3-lnt.

若h(t)=et-1-3-lnt,则h(t)=et-1-1t(t

令h(t)=0,有t=1,

当0t1时,h(t)0,h(t)是削减的,当t1时,h(t)0,h(t)是增加的,

∴h(t)min=h(1)=e0-3-ln1=-2,即n-m的最小值为-2.故选D.

答案D

2.已知函数f(x)=1ex-x+m的定义域为R,

A.(-1,+∞) B.(-∞,-1)

C.(1,+∞) D.(-∞,1)

解析已知函数f(x)=1ex-x+m的定义域为R,等价于

设g(x)=ex-x+m,则g(x)=ex-1,当x0时,g(x)0,g(x)是削减的,当x0时,g(x)0,g(x)是增加的,∴g(x)min=g(0)=1+m.

∵ex-x+m=0无解,

∴1+m0,∴m的取值范围是(-1,+∞).

故选A.

答案A

3.对一切实数x,不等式x4+ax2+1≥0恒成立,则实数a的取值范围是()

A.[-2,2] B.[0,2]

C.[-2,+∞) D.[-4,+∞)

解析当x=0时,1≥0成立,当x≠0时,x20,∴不等式x4+ax2+1≥0恒成立,转化为a≥-1

令t=x2(t0),f(t)=-1-t

∴f(t)=-1+1t

当f(t)0时,0t1,当f(t)0时,t1,∴当t=1时,f(t)max=-2,即-1-x4x2max=-2

答案C

4.已知实数a,b,c,d成等比数列,且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),则ad等于()

A.2 B.1 C.-1 D.-2

解析∵a,b,c,d成等比数列,∴ad=bc.

又∵(b,c)是函数y=3x-x3的极大值点,

∴c=3b-b3,且0=3-3b2.

∴b=1,c=2,或b=

答案A

5.函数f(x)=13x3-x2+a,函数g(x)=x2-3x,它们的定义域均为[1,+∞),并且函数f(x)的图像始终在函数g(x)图像的上方,则a的取值范围是(

A.(0,+∞) B.(-∞,0)

C.-43,

解析设h(x)=13x3-x2+a-x2+3x,则h(x)=x2-4x+3=(x-3)·(x-1),所以当x∈(1,3)时,h(x)是削减的;当x∈(3,+∞)时,h(x)是增加的.当x=3时,函数h(x)取得最小值

因为f(x)的图像始终在g(x)的图像上方,则有h(x)min0,即h(3)=a0,所以a的取值范围是(0,+∞).

答案A

6.设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点,则常数a=.?

解析f(x)=ax+2bx+1,由题意得

解得a=-23

答案-2

7.已知x∈(0,+∞),不等式ax+eax≥lnx+x恒成立,则实数a的最小值为.?

解析设f(x)=x+ex,明显f(x)是增函数,不等式ax+eax≥lnx+x变形为ax+eax≥lnx+elnx,

即f(ax)≥f(lnx),所以ax≥lnx,所以a≥lnx

令g(x)=lnxx,则g(x)=

当0xe时,g(x)0,g(x)是增加的,当xe时,g(x)0,g(x)是削减的,

所以g(x)max=g(e)=1e.不等式a≥lnxx恒成立,则a≥1e,即

答案1

8.设函数f(x)=alnx-bx2,a,b∈R.若函数f(x)在x=1处与直线y=-12相切

(1)求实数a,b的值;

(2)求函数f(x)在1e,

解(1)f(x)=ax-2bx,∵函数f(x)在x=1处与直线y=-12相切,∴f

(2)∵f(x)=lnx-12x2,∴f(x)=1x-x=1-x2x.当1e≤x≤e时,令f(x)

令f(x)0,得1x≤e,∴f(x)在1e,1上是增加的,在[1,e]上是削减的.∴f(x)max=f(1)

9.已知函数f(x)=x3+ax2+bx(a,b∈R)的图像过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8.

(1)求a,b的值.

(2)求函数f(x)的单调区间.

解(1)∵函数f(x)的图像过点P(1,2),

∴f(1)=2,即a+b=1.①

又函数图像在点P处的切线斜率为8,∴f(1)=8.

又f(x)=3x2+2ax+b,∴2a+b=5,②

解由①②组成的方程组,可得a=4,b=-3.

(2)由(1)得f(x)=3x2+8x-3,令f