2024_2025学年高中数学第一章集合与函数概念2.1第1课时函数的概念学案新人教A版必修1.docVIP

PAGE

PAGE11

第1课时函数的概念

1.函数的概念

定

义

设A，B是非空的数集，假如依据某种确定的对应关系f，使对于集合A中的随意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

三

要

素

对应

关系

y＝f(x)，x∈A

定义域

x的取值范围

值域

与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}

(1)对应关系f肯定是解析式吗？

提示：不肯定．对应关系f可以是解析式、图象、表格，或文字描述等形式．

(2)f(x)与f(a)有何区分与联系？

提示：f(x)与f(a)的区分与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般状况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特别值．

(3)任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？

提示：不能．只有非空数集之间才能建立函数关系．

(4)对于一个函数y＝f(x)，在定义域内任取一个x值，有几个函数值与其对应？

提示：依据函数的定义，对于定义域内的随意一个x，只有一个函数值与其对应．

(5)在函数的定义中，值域与集合B有什么关系？

提示：值域是集合B的子集．

2．区间及有关概念

(1)一般区间的表示．

设a，b∈R，且ab，规定如下：

定义

名称

符号

数轴表示

{x|a≤x≤b}

闭区间

[a，b]

{x|axb}

开区间

(a，b)

{x|a≤xb}

闭区间

[a，b)

{x|ax≤b}

闭区间

(a，b]

(2)特别区间的表示．

定义

R

{x|x≥a}

{x|xa}

{x|x≤a}

{x|xa}

符号

(－∞，＋∞)

[a，＋∞)

(a，＋∞)

(－∞，a]

(－∞，a)

(1)数集都能用区间表示吗？

提示：不能．区间是数集的一种表示方法，但并不是全部数集都能用区间表示，如{1，2，3，4}，就不能用区间表示．

(2)“∞”是一个数吗？

提示：“∞”是一个趋向符号，表示无限接近，却恒久不能达到，不是一个数．因此以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必需用小括号．

(3)区间之间可以像集合之间那样进行“交、并、补”运算吗？若A＝(1，＋∞)，B＝(－∞，2]，A∩B如何表示？

提示：区间只是集合的一种表示形式，因此对于集合的“交、并、补”运算仍旧成立．A∩B＝(1，2].

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”．()

提示：×.f(x)是一个符号，“y＝f(x)”是“y是x的函数”的数学表示．

(2)依据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.()

提示：×.依据函数的定义，对于定义域中的任何一个x，在值域中都有唯一的y与之对应．

(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域．()

提示：×.在函数的定义中，函数的值域是集合B的子集．

(4)在探讨函数时，除用符号f(x)外，还可用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．()

提示：√.同一个题中，为了区分不同的函数，常采纳g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．

2．函数y＝eq\f(1,\r(x＋1))的定义域是()

A．[－1，＋∞)B．[－1，0)

C．(－1，＋∞)D．(－1，0)

【解析】选C.要使y＝eq\f(1,\r(x＋1))有意义，则有x＋10，解得：x－1.所以该函数的定义域为(－1，＋∞).

3．如图中能表示函数关系的是________．(填序号)

【解析】由于③中的2与1和3同时对应，故③不是函数．

答案：①②④

4．用区间表示下列集合：

(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________．

(2){x|x1}用区间表示为________．

【解析】(1)由区间的定义可知：{x|10≤x≤100}用区间表示为[10，100].

(2)由区间的定义可知：{x|x1}用区间表示为(1，＋∞).

答案：(1)[10，100](2)(1，＋∞)

类型一函数关系的推断(数学抽象)

1．下列对应或关系式中是A到B的函数的是()

A．A＝R，B＝R，x2＋y2＝1

B．A＝{1，2，3，4}，B＝{0，1}，对应关系如图：

C.A＝R，B＝R，f：x→y＝eq\f(1,x－2)

D．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝eq\r(2x－1)

【解析】选B.A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±eq\r(1－x2)，明显对随意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数．

2．设集合P＝{x|0≤x≤2}，Q＝{y|0≤y≤2}，则图中能表示P到Q的函数的是()

A．(1)