广西柳州市2025届高三第二次模拟考试数学试题[含答案].docx

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广西柳州市2025届高三第二次模拟考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．设全集，则（????）

A． B． C． D．

2．命题“”的否定是（????）

A． B．

C． D．

3．若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．若，则（????）

A． B． C． D．

5．180的不同正因数的个数为（????）

A．8 B．10 C．12 D．18

6．若，则（????）

A． B．10 C．15 D．16

7．在平面直角坐标系中，点在直线上，若向量，则在上的投影向量为（????）

A． B．

C． D．

8．已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（????）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知，则（????）

A． B．

C． D．

10．如图.直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中点，是棱上一动点（不包含端点），则（????）

A．与平面有可能平行

B．与平面有可能平行

C．三角形周长的最小值为

D．三棱锥的体积为定值

11．已知函数，则（????）

A．在上单调递增

B．关于直线对称

C．的值域为

D．关于的方程在区间上有实根，则所有根之和组成的集合为

三、填空题（本大题共3小题）

12．设是一个随机试验中的两个事件，若，则.

13．记的内角的对边分别为，若，则的面积为.

14．已知函数关于直线对称，则函数的所有零点之和为，的最小值为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．某公司推出一种新品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了名消费者，得到下表：

性别

满意度

合计

满意

不满意

男

220

30

250

女

230

20

250

合计

450

50

500

(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为消费者对新产品的满意度与性别有关；

(2)若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用表示不满意的人数，求的分布列与数学期望.

附：其中.

0.1

0.05

0.01

2.706

3.841

6.635

16．已知双曲线的方程为，虚轴长为，点在曲线上.

(1)求双曲线的离心率；

(2)过原点的直线与双曲线交于两点，已知直线和的斜率存在.证明：直线和的斜率之积为定值.

17．如图，在四棱锥中，与均为等边三角形.

(1)证明：；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

18．已知函数.

(1)求在处的切线；

(2)若与的图象有交点.

①当时，求的取值范围；

②证明：.

19．对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为数列的二阶差分数列，其中；

(1)数列的通项公式为，试判断数列是否为等差数列？请说明理由.

(2)正项等比数列的公比为，对于任意的，都存在，使得，求的值；

(3)设为数列的一阶差分数列，令，其中，证明：.

参考答案

1．【答案】B

【详解】根据题意有，所以.

故选：B.

2．【答案】C

【详解】命题“”的否定是“”，

故选：C.

3．【答案】B

【详解】因为点在抛物线上，所以，即得，

则.

故选：B.

4．【答案】C

【详解】由题意，

.

故选：C.

5．【答案】D

【详解】因为，它的正因数即为的幂的乘积，

因此正因数个数为.

故选：D.

6．【答案】C

【详解】的展开式的通项为，

又，

所以，，

所以，

故选：C

7．【答案】A

【详解】由题可设，则，

所以在方向上的投影向量为.

故选：A

8．【答案】C

【详解】由题意，是定义在上的偶函数，则，所以，

即，又也是偶函数，所以，

所以，即，

因为函数是R上的减函数，也是减函数，

所以函数是R上的减函数；

令，即，解得，

当时，，此时函数在上单调递增，

当时，，此时函数在上单调递减，

又函数是上的偶函数，

所以由，可得，解得，

因此，实数的范围是，

故选：C.

9．【答案】ACD

【详解】由得,

对于选项A：因为函数在单调递增，所以，即，故A正确

对于选项B：，故B错误

对于选项C:因为，，所以，由B得，即，

故C正确

对于选项D：由B得，所以，

即，故D正确

故选：ACD

10．【答案】ACD

【详解】对于A，连接，当Q为的中点时，，

因为，∥，∥，，

所以，∥，

所以四边形为平行四边形，

所以与互相平分，设与交于点，连接，

因为P是棱的中点，所以∥，

因为平面，平面，

所以∥平面BPQ，故A正确；

对于B，，又平面BPQ，BD与平面BPQ只能相交，

所以与平面BPQ只能相交，故B错；

对于C，，把沿展开与在同一平面（如图），

则当B，P，Q共线时，有最小值，

在直角梯形中，，，，，

则，

所以，

所以，

所以三角形BPQ周长的最小值为，故