河北省衡水市河北冀州中学2024−2025学年高三下学期开学考试数学试题[含答案].docx

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河北省衡水市河北冀州中学2024?2025学年高三下学期开学考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知为的子集，且，则（????）

A． B． C． D．

2．已知复数（其中为虚数单位），则（???）

A． B． C． D．

3．下列函数中，值域为且为奇函数的是（????）

A． B． C． D．

4．已知平面向量，则的最小值是（）

A．1 B．2 C． D．3

5．已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（???）

A． B．

C． D．

6．已知圆锥底面半径，底面圆周上两点、满足，圆锥顶点到直线的距离为，则该圆锥的侧面积为（???）

A． B． C． D．

7．记等差数列的前项和为，公差为，若，，则（???）

A． B． C． D．

8．已知函数，，则方程的所有实数解的和是（????）

A．6 B．4 C．2 D．1

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知函数，则（????）

A．函数为奇函数

B．曲线的对称轴为，

C．在上单调递增

D．在处取得极小值

10．如图，在中，平面，点在平面的同侧，，在平面内的射影的长分别为3，4，则（???）

A．平面

B．

C．四棱锥的体积为

D．平面与平面的夹角的正弦值为

11．已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过的动直线与交于点，点，在的准线上，且轴，则下列说法正确的是（????）

A．的最小值为22

B．三点共线

C．存在点，使得到直线的距离相等

D．若，则

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为．

13．已知正项等比数列的前项和为，若，则最小值为

14．已知函数，则不等式的解为．

四、解答题（本大题共5小题）

15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求角B的大小；

(2)若，且AC边上的高为，求的周长．

16．如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，，，.

(1)求证：平面；

(2)若，且，求平面与平面夹角的余弦值.

17．已知数列的前项和为

(1)证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；

(2)设，若对任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.

18．已知椭圆的左右顶点分别为，，且右交点与抛物线的焦点重合.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作直线交椭圆于（异于）两点，直线的交点为.

①证明：点在定直线上

②设直线交点为，问是否为定值？若是，求出该值，若不是，说明理由.

19．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若在区间上存在唯一零点，求证：.

参考答案

1．【答案】C

【详解】解：集合M，N均为R的子集，且，

则，

则，

故选：C

2．【答案】C

【详解】，

故.

故选：C.

3．【答案】D

【详解】对于函数，定义域为R，，而.

因为，所以该函数不是奇函数.对于值域，

因为的值域为，所以的值域为R.故A错误.

对于函数，定义域为R，，

所以该函数是偶函数，不是奇函数，故B错误.

对于函数，定义域为，，所以该函数是奇函数.

对于值域，，，当趋于时，趋于正负无穷，其值域为，不是R.??故C错误.

对于函数，定义域为，，所以该函数是奇函数.

对于值域，当趋于正无穷时，趋于正无穷；当趋于负无穷时，趋于负无穷；

并且函数在定义域内是连续的，所以值域为R.

故选：D.

4．【答案】D

【详解】由题设分别在以为原点，半径为的圆上运动，且，

所以，若是的中点，则，而，如下图示，

由图知，，而，即.

所以的最小值是.

故选D.

5．【答案】D

【详解】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则，

又因为，故.

故选：D.

6．【答案】B

【详解】设圆锥的顶点为，底面圆圆心为点，取线段的中点，连接、、、，

因为，，则，，

因为圆锥顶点到直线的距离为，所以，

因为圆锥底面半径，故，又，

所以为等腰直角三角形，为斜边，

因为为线段的中点，故，

因为平面，平面，，，

在中，，

在中，，

所以，圆锥的底面圆半径为，母线长为，

因此，该圆锥的侧面积为.

故答案为：.

7．【答案】D

【详解】因为，所以A不正确；

，所以，

又因为，所以，则，所以B不正确；

由，知，即为递增数列，

所以，所以C不正确；

由，得，所以D正确.

故选：D.

8．【答案】C

【详解】令，其定义域为，

令，显然是奇函数，

则其图象关于原点对称，所以的图象关于点对称.

先讨论在上方程的所有实数解的情况，即函数的零点情况，

因为，，，

所以，所以在上单调递减，

又时，，，

所以在上有且只有一个零点，

又的图象关于点对称，所以在上有且只有一个零点，

且，即方程的所有实数解的和是2.

故选：C

9．【答案】AB

【详解】由题意可得：