河北省秦皇岛市昌黎县河北昌黎第一中学2025届高三下学期第一次调研考试数学试题[含答案].docx

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河北省秦皇岛市昌黎县河北昌黎第一中学2025届高三下学期第一次调研考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知集合，集合由全体合数组成，则（???）

A． B． C． D．

3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（???）

A． B． C． D．

4．用a、b、c表示三条不同的直线，表示平面，给出下列命题，正确的有（????）

①若，，则；????②若，，则；

③若，，则；????④若，，则.

A．①② B．②④ C．①④ D．③④

5．已知，，则（????）

A．2 B． C． D．3

6．用“作切线”的方法求函数零点时，若数列满足，则称该数列为言蹊数列.若函数有两个零点1和2，数列为言蹊数列.设，已知，的前n项和为，则（????）

A．2022 B．2023 C． D．

7．如图，将圆柱的下底面圆置于球O的一个水平截面内，恰好使得与水平截面圆的圆心重合，圆柱的上底面圆的圆周始终与球O的内壁相接（球心O在圆柱内部），已知球O的半径为3，，则圆柱体积的最大值为（????）

A． B． C． D．

8．已知函数，，则存在，使得（????）

A． B．

C． D．

二、多选题（本大题共1小题）

9．已知某中学的高中女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（，2，3，…，n），由最小二乘法近似得到y关于x的回归直线方程为，则下列结论中正确的是（????）

A．该回归直线必过点

B．y与x是负相关的

C．若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg

D．若该中学某高中女生身高为160cm，则其体重必为50.29kg

三、单选题（本大题共1小题）

10．在锐角中，，角A、B、C对边分别为a，b，c，则（????）

A．

B．

C．

D．若上有一动点P，则最小值为

四、多选题（本大题共1小题）

11．对于实数a，b下列错误的是（????）

A．在直线上是到距离为的充要条件

B．若，，，则最大值是

C．如果存在一个定义在R上的函数满足，那么必存在一个数m，使得函数对所有有理数t均成立

D．若，，则

五、填空题（本大题共3小题）

12．已知复数，则.

13．已知函数，其处的切线是函数在处的切线，则函数恒过定点.

14．已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，M是椭圆与抛物线的一个公共点，，则椭圆的离心率为.

六、解答题（本大题共5小题）

15．如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面且，E为中点.

??

(1)求证：；

(2)求二面角的正弦值；

(3)求点C到平面的距离.

16．已知正项数列中且，其中为数列的前n项和.

(1)求数列的通项公式；

(2)若是和的等比中项，求k值；

(3)令，求数列前n项和.

17．已知函数，.

(1)当时，求函数的最小值；

(2)若，求的取值范围.

18．某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品．已知生产一件产品为一等品、二等品、三等品的概率分别为、、，且．从该工厂生产的产品中随机抽取件，设其中一等品的数量为，二等品的数量为．

(1)若，已知的数列期望，的方差求的值.

(2)若，且服从二项分布．已，求的值.

(3)已知，，在抽取的件商品中，一等品和二等品的数量之和为．求当为何值时，的数学期望取得最大值？

19．对于求解方程的正整数解（，，）的问题，循环构造是一种常用且有效地构造方法．例如已知是方程的一组正整数解，则，将代入等式右边，得，变形得：，于是构造出方程的另一组解，重复上述过程，可以得到其他正整数解．进一步地，若取初始解时满足最小，则依次重复上述过程可以得到方程的所有正整数解．已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2．

(1)求双曲线的标准方程；

(2)方程的所有正整数解为，且数列单调递增．

①求证：始终是4的整数倍；

②将看作点，试问的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

参考答案

1．【答案】B

【详解】，，且，

又，，

.

故选：B.

2．【答案】B

【详解】因为集合，集合由全体合数组成，

又从到4的所有实数中是合数的数为4，

所以.

故选：B.

3．【答案】B

【详解】由题意得，即.

故选：B.

4．【答案】C

【详解】对于①，因为，，所以，所以①正确，

对于②，若a、b、c三条直线在同一个平面，则当，时，∥，所以②错误，

??

对于③，如图当，时，与相交，所以③错误，

??

对于④，因为，，所以，所以④正确.

故选：C

5．【答案】D

【详解】因为，所以，即，

因为，所以，

故，所以，

故选：D

6．【答案】D

【详解】函数有两个零点

,

则由题意得,