河北省石家庄市无极县石家庄实验中学2025届高三第一次调研考试数学试题[含答案].docx

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河北省石家庄市无极县石家庄实验中学2025届高三第一次调研考试数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．已知，则（????）

A． B． C． D．

3．已知平面向量满足，则（????）

A．3 B． C． D．1

4．已知圆与直线相切于点，且圆过点，则圆的半径是（???）

A． B． C．8 D．9

5．已知，且，，其中，则（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（????）

A． B． C． D．

7．若数列的前项和为，则下列结论正确的是（????）

A． B．

C． D．

8．超市举办抽奖活动．箱子里装有十张参与奖与两张100元代金券．顾客第一次可使用5积分进行一次抽奖，若摸中100元代金券则结束，若摸中参与奖则可将奖券放回并花费2积分再抽一次．若紫阿姨铁了心也要抽中100元代金券，则她所花费积分的数学期望为（????）

A．12 B．15 C．17 D．20

二、多选题（本大题共3小题）

9．为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数与所用时间（单位：）的5组数据为：，根据以上数据可得经验回归方程为：，则（????）

A．

B．回归直线必过点

C．加工60个零件的时间大约为

D．若去掉，剩下4组数据的经验回归方程会有变化

10．已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于的任意一点，则下列说法正确的是（????）

A．

B．存在点满足

C．直线与直线的斜率之积为

D．若△的面积为，则点的横坐标为

11．已知，，且则以下正确的是（????）

A． B．

C． D．

三、填空题（本大题共3小题）

12．过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆的标准方程为.

13．如图，正四面体的体积为，、是棱、靠近点的三等分点，是棱靠近点的三等分点，是棱靠近点的三等分点，则多面体体积为.

??

14．若不等式（是自然对数的底数）对任意恒成立，则当取最大值时，实数.

四、解答题（本大题共5小题）

15．在三角形中，角的对边分别为，已知.

(1)求角；

(2)若，设为的中点，且，求三角形的周长.

16．已知抛物线的焦点为，设为上不重合的三点，且.

(1)求；

(2)若均在第一象限，且直线的斜率为，求的坐标.

17．已知三棱锥中，平面平面，平面．

(1)求证：

(2)若二面角的正弦值为，且，，求．

18．已知函数，其中为自然对数的底数.

(1)求函数的单调区间；

(2)证明：；

(3)设，若存在实数使得，求的最大值.

19．在平面直角坐标系中，为坐标原点．对任意的点，定义．任取点，，记，，若此时成立，则称点，相关．

（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；

①，；②，．

（2）给定，，点集．

（）求集合中与点相关的点的个数；

（）若，且对于任意的，，点，相关，求中元素个数的最大值．

参考答案

1．【答案】D

【详解】由题，，则.

故选：D

2．【答案】A

【分析】根据复数的乘、除法运算即可求解.

【详解】因为，

所以.

故选A．

3．【答案】C

【详解】由于，所以，

又因为所以

所以，

所以.

故选：C.

4．【答案】A

【详解】与直线垂直且过点的直线为：，

化简为，所以圆心在，

又因为圆心在和的垂直平分线上，

所以和的垂直平分线为，

所以，解得：，

所以所求圆的圆心，半径，

故选：A.

5．【答案】B

【详解】解：∵

∴

整理得：，由于，，所以，

则，即.

故选：B.

6．【答案】C

【详解】当时，单调递减，

故在处取得最小值，最小值为，满足要求，

当或时，，

令得或，

当时，恒成立，

故表格如下：

0

+

0

极小值

极大值

故在上取得极小值，

且，，

要想在区间上的最小值为，

则要，变形得到，

令，，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

且，，

故的解集为，

时，令可得，

当时，，

令得，

故在上单调递减，

故在处取得最小值，最小值为，满足要求，

当时，恒成立，

故表格如下：

+

0

0

+

极大值

极小值

故在上取得极小值，

且，，

要想在区间上的最小值为，

则要，变形得到，

令，，

时，，单调递增，

又，故上，无解，

综上：实数a的取值范围是.

故选：C

7．【答案】D

【分析】根据之间的关系可求出，进而求得，由此结合值的大小比较可判断A，B，C，利用放缩法，当时，可推出，累加即可判断D.

【详解】令，则，即，

由，的；

当时，，即，

又，故为首项是1，公差为1的等差数列，

则，故，

所以当时，，也适合该式，

故，

对于A，

，A错误；

对于B，，B错误；

对于C，，C错