河南省南阳市第一中学校2025届高三第十二次考试（2月考试）数学试题[含答案].docx

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河南省南阳市第一中学校2025届高三第十二次考试（2月考试）数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．已知集合，则（????）

A． B．

C． D．

2．若，则（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

3．若向量，满足，且，，则（????）．

A．2 B． C．1 D．

4．记为等比数列的前n项和，若，，则（????）．

A．120 B．85 C． D．

5．在中，，，的面积为，则为（????）．

A． B． C． D．

6．已知的定义域为的单调函数，且，则（????）

A． B．0 C．1 D．2

7．已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为（???）

A．－ B．1 C．0 D．－1

8．设双曲线：的右焦点为，双曲线上的两点关于原点对称，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（???）

A． B． C． D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．设函数，则（????）

A．是偶函数 B．的最小正周期为

C．的值域为 D．在单调递增

10．设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内任意一点，分别表示直线的斜率，则（????）

A．存在点，使得 B．存在点，使得

C．存在点，使得 D．存在点，使得

11．柏拉图实体，也称为柏拉图多面体，是一组具有高度对称性的几何体．它们的特点是每个面都是相同的正多边形，每个顶点处的面的排列也完全相同．正八面体就是柏拉图实体的一种．如图是一个棱长为2的正八面体．甲、乙二人使用它作游戏：甲任选三个顶点，乙任选三个面的中心点，构成三角形．甲、乙选择互不影响，下列说法正确的是（????）

A．该正八面体的外接球的体积为

B．平面截该正八面体的外接球所得截面的面积为

C．甲能构成正三角形的概率为

D．甲与乙均能构成正三角形的概率为

三、填空题（本大题共3小题）

12．已知，那么.

13．若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率为.

14．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．记为数列的前项和，为数列的前项和，若且.

(1)证明：数列是等比数列；

(2)若成立，求的最小值.

16．如图，等腰直角△ACD的斜边AC为直角△ABC的直角边，E是AC的中点，F在BC上．将三角形ACD沿AC翻折，分别连接DE，DF，EF，使得平面平面ABC．已知，，

(1)证明：平面ABD；

(2)若，求二面角的余弦值．

17．同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗?其规则是：每局25分，达到24分时，比赛双方必须相差2分，才能分出胜负；每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3∶0或3∶1取胜的球队积3分，负队积0分；以3∶2取胜的球队积2分，负队积1分.甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往6局比赛成绩：

1

2

3

4

5

6

甲

25

21

27

27

23

25

乙

18

25

25

25

25

17

假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立.

(1)估计甲队每局获胜的概率；

(2)如果甲、乙两队比赛1场，求甲队的积分X的概率分布列和数学期望；

(3)如果甲、乙两队约定比赛2场，请比较两队积分相等的概率与的大小（结论不要求证明）.

18．设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点.

(1)求椭圆的方程；

(2)动点、为椭圆上异于的两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点.

19．将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是一个函数的图象，即函数的图象与直线至多有1个交点，则称函数具有“旋转不变性”.

(1)证明：函数，具有“旋转不变性”；

(2)若函数具有“旋转不变性”，求m的取值范围.

参考答案

1．【答案】D

【详解】由，可得，则，

又由，解得，因为，所以，

所以．

故选：D．

2．【答案】C

【详解】设，则，因为，

所以，所以，解得，

所以，所以.

故选C.

3．【答案】D

【详解】设，

由已知可得，，

所以.

又，

所以，解得（舍去负值），

所以，.

故选：D.

4．【答案】C

【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出；

方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解．

【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为，

若，则，与题意不符，所以；

若，则，与题意不符，所以；

由，可得，，①，

由①可得，，解得：，

所以．

方法二：设等比数列的公比为，

因为，，所以，否则，

从而，成等比数列，

所以有，，解得：或，

当时，，即为，

易知，，即；

当时，，

与矛盾，舍去．

故选C．

【思路