湖南省部分学校2024−2025学年高三下学期入学检测联考数学试题[含答案].docx

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湖南省部分学校2024?2025学年高三下学期入学检测联考数学试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．设集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．复数满足，则在复平面内，复数对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．当时，函数取得最大值，则的值可能为（????）

A． B． C． D．

4．已知某商品的形状为圆台，该圆台的轴截面是上底为2，下底为4，腰为3的等腰梯形，则该圆台的表面积为（????）

A． B． C． D．

5．已知，，均为单位向量，且与的夹角为，则的最大值为（????）

A． B． C．1 D．

6．设，，，则，，的大小关系为（????）

A． B． C． D．

7．已知双曲线的左?右焦点分别为，，过的直线与的左支交于，两点，若，，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

8．提供四种不同颜色的颜料给图中六个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，有公共边的两个区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法共有（????）

A．288种 B．296种 C．362种 D．384种

二、多选题（本大题共3小题）

9．已知函数，则下列说法一定正确的是（????）

A．至少有一个极值点

B．存在实数，使得在上单调递增

C．存在实数，使得在上单调递减

D．直线是曲线的一条切线

10．一组样本数据，，，…的平均数为，方差为，由，，，组成的样本的平均数为，方差为，由，，，，，组成的样本的平均数为，方差为，若，则（????）

A．，，，…，的中位数等于，，，，，的中位数

B．，，，…，的30%分位数等于，，，，，的20%分位数

C．

D．

11．在三棱锥中，，，直线与平面所成的角为，二面角为，二面角和均为锐角，则下列说法正确的是（????）

A．

B．与一定不相等

C．三棱锥体积的最小值为

D．当三棱锥的体积取得最小值时，与平面所成角的正切值为

三、填空题（本大题共3小题）

12．椭圆的焦距为4，则.

13．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的最大值为.

14．函数，若对任意，恒成立，则的取值范围为.

四、解答题（本大题共5小题）

15．如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点.

(1)证明：平面.

(2)求平面与平面的夹角的大小.

16．已知数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，求数列的前项和.

17．一个箱子中装有4个黑球，2个白球，小球除颜色外其他都相同，每次从箱子中随机取出一个球，取出4个黑球即停止.

(1)若从箱子中不放回地取球，求恰好第5次停止的概率；

(2)若从箱子中有放回地取球，记5次之内（含5次）取到黑球的次数为，求的分布列和期望.

18．已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点.

(1)已知点到的距离比到轴的距离大1.

（i）求抛物线的方程；

（ii）经过点的直线与抛物线相交于，两点，若，求的方程.

(2)过点作抛物线的切线，与轴交于点，证明：平分.

19．定义：、、、是函数的个零点，若，则称为“等差函数”，若，则称为“等比函数”.

(1)已知函数是“等差函数”，求的值；

(2)已知函数恰有个零点.

（i）求的取值范围；

（ii）证明：为“等比函数”.

参考答案

1．【答案】A

【详解】因为，

所以.

故选：A.

2．【答案】D

【详解】由，

可得，

复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.

故选：D

3．【答案】C

【详解】

，

当，即时，取得最大值，

所以的值可能为C选项.

故选：C.

4．【答案】B

【详解】该圆台的表面积.

故选：B

5．【答案】C

【详解】，即，

所以，

显然最大值为1.此时；

故选：C

6．【答案】B

【详解】，则，故.

故选：B

7．【答案】B

【详解】由题可知，又因为，所以，，

在中，，

在中，，即，

化简可得，则.

故选：B

8．【答案】D

【详解】首先三个区域有种涂法，

当2号区域和6号区域同色时，有种涂法；

当2号区域与4号区域同色时，有种涂法；

当2号区域与4号区域，6号区域均不同色时，有种涂法，

综上，共有384种涂法.

故选：D.

9．【答案】BD

【详解】，当时，，此时无极值点，A错误；

当时，在上单调递增，

当时，当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，B正确，C错误；

因为，所以曲线在处的切线方程为，D正确.

故选：BD

10．【答案】ACD

【详解】的中位数为的中位数为，A正确；

，所以的分位数为，所以的分位数为，B错误；

因为，所以，C正确；

由，化简可得，D正确.

故选：ACD

11．【答案】BCD

【详解】

设点在平面内的投影为，过作的垂线，垂足为，连接，

所以为直线与平