阶及高阶导数的概念及计算.pptVIP

三、高阶导数的应用4.8用多项式近似表达函数──泰勒公式如果我们能用一个简单的函数来近似地表示一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢?01[定理4.8]单击此处添加小标题02设f(x)在x＝0点及其附近有直到n＋1阶的连续导数，那么单击此处添加小标题03其中Rn(x)＝(ξ在0与x之间)单击此处添加小标题04上式称为函数f(x)在x＝0点附近关于x的泰勒展单击此处添加小标题05开式简称泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余项。单击此处添加小标题当x→0时，拉格朗日余项Rn(x)是关于xn的高阶无穷小量，可表示为Rn(x)＝O(xn)。O(xn)称为皮亚诺余项。这样，函数f(x)在x＝0点附近的泰勒展开式又表示为：一般地，函数f(x)在x＝x0点附近泰勒展开式为：014.9几个初等函数的泰勒公式单击此处添加小标题02例4.19求函数f(x)＝ex在x＝0点的泰勒展开式单击此处添加小标题03解：∵f(x)＝f(x)＝…＝f(n)(x)＝ex单击此处添加小标题04∴f(0)＝f(0)＝f(0)＝…＝f(n)(0)＝1单击此处添加小标题05于是，ex在x＝0点的泰勒展开式为：单击此处添加小标题06在上式中，令x＝1，可得求e的近似公式单击此处添加小标题例4.20求函数f(x)＝sinx在x＝0点的泰勒展开式解：∵f(x)＝cosx，f(x)＝-sinx，f(x)＝-cosxf(4)(x)＝sinx，…∴f(0)＝0，f(0)＝1，f(0)＝0，f(x)＝－1f(4)(0)＝0，…f(2n－1)(0)＝(－1)n－1，f(2n)(0)＝0于是，sinx在x＝0点的泰勒展开式为：例4.21求函数f(x)＝cosx在x＝0点的泰勒展开式解：∵f(x)＝-sinx，f(x)＝-cosx，f(x)＝sinxf(4)(x)＝cosx，…∴f(0)＝1，f(0)＝0，f(0)＝－1，f(x)＝0f(4)(0)＝1，…f(2n－1)(0)＝0，f(2n)(0)＝(－1)n于是，cosx在x＝0点的泰勒展开式为：例4.22求函数f(x)＝ln(1＋x)在x＝0点的泰勒展开式解：∵f(x)＝，f(x)＝-，f(x)＝，f(4)(x)＝-，…∴f(0)＝0，f(0)＝1，f(0)＝-1!，f(x)＝2!f(4)(0)＝-3!，…f(n)(0)＝(－1)n－1(n－1)!于是，ln(1＋x)在x＝0点的泰勒展开式为：4.10罗必塔法则不定式[定理4.9]如果当x→a时函数f(x)、g(x)都趋向于零，在点a的某一邻域内(点a除外)，f’(x)、g’(x)均存在，g’(x)≠0，且存在(或无穷大)，则二、二阶导数的应用4.5函数极值的判定[定理4.6]如果函数f(x)在x0附近有连续的二阶导数f(x)，且f(x0)＝0，f(x)≠0，那么若f(x0)＜0，则函数f(x)在点x0处取得极大值若f(x0)＞0，则函数f(x)在点x0处取得极小值∴当x＝1时，y极小＝－1，x＝0时，y极大＝0∵f(1)＝6＞0，f(0)＝－6＜0解：⑴f(x)＝6x2－6x，f(x)＝12x－6f(x)＝2x3－3x2把x1＝1，x2＝0代入原函数计算得f(1)＝－1、f(0)＝0令6x2－6x＝0，得驻点为x1＝1，x2＝0f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π]例4.11求下列函数的极值例4.11求下列函数的极值f(x)＝sinx＋cosx，x∈[0,2π]解:⑵f(x)＝cosx－sinx，令cosx－sinx＝0，得驻点为x1＝，x2＝，又f(x)＝－sinx－cosx，把x1＝，x2＝代入原函数计算得f()＝、f()＝－。所以当x＝时，y极大＝，x＝时，y极小＝－[注意]如果f(x0)＝0，f(x0)＝0或不存在，本定理无效，则需要考察点x0两边f(x)的符号来判定是否为函数的极值点。4.6函数的凹凸性和拐点1.曲线的凹凸性设函数y＝f(x)在区间(a,b)内可导，如果对应的曲线段位于其每一点的切线的上方，则称曲线在(a,b)内是凹的，如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方，则称曲线在(a,b)内是凸的。从图象上来看，曲线段向上弯曲是凹的，曲线段向下弯曲是凸的。[定理4.