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对2013年高考江西卷文科第20题的探究

笔者通过对刚刚结束的2013高考江西卷文科数学试题的研究，发现第20题所要证明的结论对椭圆来说具有一般性，为方便讨论，引原题如下：

椭圆C:(ab0)的离心率QUOTEe=32，。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）如图，A,B,D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m，证明为定值。

解答略。

笔者关心的是，如果把“QUOTEe=32，”这两个条件省略，即对于一般的椭圆(ab0)，（Ⅱ）中的结论还能成立吗？笔者的回答是肯定的，证明如下：

证明：设直线：（由题意可知），

易知：,联立和可求得M，

将代入椭圆方程中可得P，

设N，易知D，由D，P，N三点共线可知：

，解之可得N，

从而，所以（定值）。

这个结论对于椭圆来说具有一般性，双曲线是否具有呢？带着这个疑问，笔者作了如下探索：

设直线：（由题意可知），易知：，

联立和可求得M，

将代入椭圆方程中可得P，

设N，易知D，由D，P，N三点共线可知：

，解之可得N，

从而，而此时，

显然不再是个定值。

由此可知椭圆的这个一般性质不能够推广到双曲线中，至于是否可以推广到抛物线中请感兴趣的读者自己验证。值得一提的是，虽然对于双曲线来说不是个定值，但易得为定值，证明略。这可以看做是双曲线的一个一般性质。

参考文献：

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学试卷。

附个人资料：

江西省赣州市瑞金第一中学高三数学组

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