2025版新教材高中数学第五章三角函数1.2蝗制学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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弧度制

课标解读

课标要求

素养要求

1.了解在弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.

2.理解“1弧度的角”的定义，驾驭弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，熟识特别角的弧度数.

1.数学运算——会进行弧度制与角度制的转换.会求扇形的弧长和扇形的面积.

2.直观想象——会依据题意作出扇形.

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

要点一角度制

角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的1360.这种用度作为单位来度量角的单位制叫做①角度制

要点二弧度制

规定;长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度，即在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为αrad，那么|α|=lr，其中，α的正负由角α的终边的旋转方向确定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.一般地，正角的弧度数是一个②正数

要点三弧度与角度的换算

用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）;用角度制和弧度制度量任―非零角，单位不同，量数也不同.因为周角的弧度数是2?π，而在角度制下的度数是360，所以360??°=2?πrad，180??°=

要点四特别角的度数与弧度数度

度

0

30

45

60

90

120

135

150

180

270

360

弧度

0

⑥π

π

⑦π

π

2?

3?

5?

⑧π

3?

2?

要点五角度制与弧度制下的扇形的弧长公式与面积公式

半径为R.圆心角为n?°的扇形的弧长公式和面积公式分别是l=⑨nπR180，S=⑩nπR2360，将n?°

自主思索

1.1弧度的角=1度的角，这种说法正确吗?

答案：提示错误.1弧度的角与1度的角所指的含义不同，大小也不同.

2.角的大小与圆的半径有关吗?

答案：提示无关.

3.“度”与“弧度都是角的度量单位，能省略吗?

答案：提示用“度”作为角的度量单位时，“度”(即“?°”)不能省略，而用“弧度”作为角的度量单位时，“弧度”二字或“rad

名师点睛

1.以“弧度”为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，如α=2，就是说α是2弧度，以“度”为单位表示角的大小时，“度”不能省略.

2.在应用扇形面积公式S=12|α|r

3.由α,r,l,S中随意的两个量可以求出另外的两个量.

互动探究·关键实力

探究点一角度与弧度的换算

精讲精练

例已知α=15°,β=

答案：因为1弧度=(180π)°,所以β=

解题感悟

角度与弧度互化技巧在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad=180??°是关键，由它可以得到：度数×

迁移应用

1.把下列角度化成弧度或弧度化成角度.

（1）72°;（2）-300

答案：（1）72°

（2）-300

（3）2=2×(180

（4）-2?

探究点二用弧度制表示角

精讲精练

例（1）用弧度制表示与120°角终边相同的角α

A.{α|α=-

B.{α|α=

C.{α|α=

D.{α|α=

（2）用弧度制表示终边落在如图所示的阴影部分内（包括边界）的角θ的集合为.

答案：（1）D

（2）{θ|-

解析：（1）120°=120×π180=

（2）终边落在射线OA上的角为θ=135°+k?

终边落在射线OB上的角为θ=-30°+k?

故终边落在阴影部分内（包括边界）的角θ的集合为{θ|-π

解题感悟

弧度制下与角α终边相同的角的表示

在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为β|β=2?kπ+α,k∈Z,即与角α终边相同的角可以表示成α加上

迁移应用

1.用弧度制表示终边落在下列如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.

（1）

（2）

答案：（1）330°角的终边与-30°角的终边相同，将-30°

所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为

{θ|2?kπ

（2）因为30°=π6,210°=7?

所以终边落在阴影部分内（不包括边界）的角的集合为

{θ|kπ

探究点三扇形的弧长和面积问题

精讲精练

例（易错题）已知扇形的半径为rcm，面积为Scm2

（1）求函数S(r)的解析式与定义域；

（2）求S(r)的最大值以及对应的圆心角的肯定值.

答案：（1）设扇形的弧长为l，依题意，得2r+l=20，即l=20-2r，

所以S(r)=1

设扇形的圆心角为α，明显α∈(0,2?π

由2r+l=20，得2+l

所以α=

由0＜20

解得10π

所以函数S(r)的定义域为(10

（2）由（1）得S(r)=-r2+10r=-(r-5)2

此时l=10，对应的圆心角的肯定值|α|=

易错警示在求关于扇形面积的函数的定义域时，常因忽