2025版新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.2第2课时对数函数的性质及应用学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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第2课时对数函数的性质及应用

互动探究·关键实力

探究点一对数型函数的单调性

精讲精练

例（1）已知log0.72xlog

（2）求函数y=log

答案：（1）∵函数y=log0.72x

∴由log0.7

得2x0,

解得x1，

∴x的取值范围为(1,+∞).

（2）要使函数有意义，则1-x

解得-1x1，

即函数的定义域为(-1,1).

令t=1-x2，

在(-1,0)上，x增大，t增大，y=log

即在(-1,0)上，y随x的增大而减小，为减函数；

在[0,1)上，x增大，t减小，y=log

即在[0,1)上，y随x的增大而增大，为增函数.

综上，y=log12

解题感悟

形如的函数f(x)=logag(x)（a0

（1）先求g(x)0的解集（也就是函数f(x)的定义域）.

（2）当a1时，在g(x)0的前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间.

（3）当0＜a＜1时，在g(x)0的前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间.

迁移应用

1.解下列不等式：

（1）log1

（2）loga

答案：（1）由题意可得x0,

解得0x2，所以原不等式的解集为(0,2).

（2）当a1时，

原不等式等价于2x-50,

解得x4；

当0a1时，

原不等式等价于2x-50,

解得52

综上所述，当a1时，原不等式的解集为{x|x4}；当0a1时，原不等式的解集为{x∣5

探究点二对数型函数的值域

精讲精练

例函数f(x)=(log

（1）当x∈[1,4]时，求该函数的值域；

（2）若f(x)mlog4x对随意x∈[4,16]

答案：（1）f(x)=(log

令t=log4x，当x∈[1,4]

此时y=f(x)

=(2t-2)(t-

=2

=2(t-3

易知当t=34时，y取得最小值-18，当

∴该函数的值域为[-1

（2）令k=log4x

f(x)mlog4x对

即2k2-3k+1mk对

∴m2k+1k-3对

令g(k)=2k+1k-3

易知g(k)在[1,2]上单调递增，

∴g(k)

∴m0，即m的取值范围为(-∞,0).

解题感悟

求对数型函数的值域时，一般须要依据对数函数的单调性及真数的取值范围求解.肯定要留意定义域对它的影响，当函数较为困难时，可对对数函数进行换元，把困难问题简洁化.

迁移应用

1.已知2≤x≤8，求函数f(x)=log

答案：f(x)=log

令t=log

∵x∈[2,8]，

∴t∈[1,3]，

则y=f(x)=(t-1)(t-2)=(t-3

易知当t=3时，ymax=2，当t=3

∴函数f(x)=log2x

探究点三对数型函数性质的综合应用

精讲精练

例已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)=log

（1）求f(1)，f(-1)的值；

（2）求函数f(x)的表达式；

（3）若f(a-1)-f(3-a)0，求实数a的取值范围.

答案：（1）f(1)f(1)=log12

（2）因为f(x)在R上为奇函数，

所以f(0)=0，

令x0，则-x0，

所以f(x)=-f(-x)=-log

所以f(x)=

（3）当x∈(0,+∞)时，

f(x)=log

令u=x+7，则y=log

由于u=x+7是增函数，y=log12u是减函数，则

因为f(x)是奇函数，

且f(0)=0，

所以y=f(x)是R上的减函数.

由f(a-1)f(3-a)，得a-13-a，

解得a2，

即实数a的取值范围是(2,+∞).

解题感悟

对数型函数的综合问题，常以对数函数为依托，着重考查对数的运算、对数函数的图象与性质、函数的单调性、奇偶性、值域与最值等，熟识对数函数的图象与性质及求解函数问题的一般规律和方法是解答这类问题的前提.

迁移应用

1.已知函数f(x)=lg

（1）若f(x)为奇函数，求a的值；

（2）在（1）的条件下，若f(x)在(m,n)上的值域为(-1,+∞)，求m，n的值.

答案：（1）∵f(x)为奇函数，

∴f(x)+f(-x)=0，

即lga-x

∴(a-x)(a+x)

解得a=1（负值舍去）.

（2）由（1）知f(x)=lg

则1-x1+x

即1-x0,1+x0或

解得-1x1，

即其定义域为(-1,1).

当x∈(-1,1)时，

t=1-x

又y=lg

∴f(x)=lg1-x1+x

由题意知f(n)=lg

解得n=9

即m=-1，n=9

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