3.2.1 双曲线的标准方程（教案）-高二数学（高教版2023修订版拓展模块一上册）.docx

教学目标3.2.1双曲线的标准方程

教学目标

1.理解双曲线标准方程的求导过程，会根据标准方程判断焦点位置；

2. 掌握双曲线标准方程中参数之间的关系.

教学重难点教学重点：双曲线标准方程的推导

教学重难点

教材分析教学难点：双曲线图形的绘制．

教材分析

教学工具双曲线是继椭圆之后学习的又一种圆锥曲线，它是解析几何的重要内容之一，无论从知识的角度还是从思想方法的角度双曲线都与椭圆有类似之处，学习双曲线本身对椭圆知识和方法的巩固、深化与提高.

教学工具

教学课件

教学过程（一）

教学过程

广州塔是目前世界上已经建成的最高的塔桅建筑，广州塔的两侧轮廓线是什么曲线？有什么特点？

可以看出，广州塔两侧的轮廓线是关于塔中轴对称的两条曲线，它们分别从塔的腰部向上下两个方向延伸，人们称这样的曲线为双曲线．

那么，如何画出双曲线呢？

【设计意图】由广州塔引入双曲线的概念.

（二）探索新知

我们通过一个实验来完成．

（1）取一条拉链，把它拉开分成两条，将其中一条剪短．把长的一条的端点固定在点F1处，短的一条的端点固定在点F2处；

（2）将笔尖放在拉链锁扣M?处，随着拉链的拉开或闭合，笔尖?就画出一条曲线(图中右边的曲线)；

（3）再把拉链短的一条的端点固定在点F1处，长的一条的端点固定在点F2处．类似地，笔尖可面出另一条曲线(图中左边的曲线)．

拉链是不可伸缩的，笔尖(即点M)在移动过程中，与两个点F1、F2的距离之差的绝对值始终保特不变．

一般地，把平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点之间的距离称为双曲线的焦距．

我们利用椭圆的对称性建立了平面直角坐标系，并推导了椭圆的标准方程．对于双曲线，如何建立适当的坐标系求它的方程呢？

以经过双曲线两焦点F1、F2的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．

设M(x，y)为双曲线上的任一点，双曲线的焦距为2c(c0)，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c，0)、(c，0)．

又设双曲线上的点M与焦点F1、F2的距离之差的绝对值为2a(a0)，即|MF1|-|MF2|=2a，则有|MF1|-|MF2|=±2a.

于是有?????????(x+c)2+y

移项得(x+c)2+y2?

两边平方得(x+c)2+y2=

整理得cx-a2=±a

两边再平方，整理得a4+c2x2=a2x2+a2c2+a2y2，

移项并整理得(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)．

由双曲线定义可知，2c2a0，即ca0，因此c2-a20．

令c2-a2=b2得(b0)，则上式可化为b2x2-a2y2=a2b2．

两边同除以a2b2，得x2a2-y2b2=1(a0

方程x2a2-y2b2=1(a0，b0)称为双曲线的标准方程，此时双曲线的焦点．在x轴上，焦点坐标分别为(-c，0)

如图，以过双曲线两焦点F1、F2的直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系．类似地，可以求得双曲线的标准方程为

y2a2-x2b2=1(a

此时双曲线的焦点F1和F2的坐标分别为(0，-c)、(0，c)．

【设计意图】通过把几何问题转化成代数问题从而使几何问题可以通过代数运算来解决，类比介绍焦点在y轴上的双曲线的标准方程..

（三）典例剖析

例1.根据条件，求双曲线的标准方程．

（1）焦点在x轴上，焦距为14，双曲线上的一点到两个焦点的距离之差为6；

（2）焦点为F1(0，-6)和F2(0，6)，双曲线上一点M的坐标为(2，-5)．

解：（1）因为2c=14，2a=6，即c=7，a=3，所以b2=a2-c2=40．

由于双曲线的焦点在x轴上，故双曲线的标准方程为

x29-y

（2）由双曲线的定义知，||MF1|-|MF2||=2a，即

2a=(2

化简得2a=45，即a=25?

又因为c=6，所以b2=c2-a2=36-20=16.

由题设可知，双曲线的焦点在y轴上．因此，双曲线的标准方程为

y220-x

例2.已知双曲线的方程，求焦点坐标和焦距．

（1）x232-y24=1；（2）x

解:（1）因为含x项的系数为正数，所以双曲线的焦点在x轴上，并且a2=32，b2=4．于是有

c2=a2+b2=32+4=36，